Math 136 lecture 6 15th jan 2018. Then (cid:1871)(cid:1853){(cid:2869) , } is a subspace of . Hence by the subspace test, it is a subspace. (cid:882) =(cid:882)(cid:2869) +(cid:1710)+(cid:882) (cid:1871)(cid:1853){(cid:2869) , , } Let (cid:1876) , (cid:1877) (cid:1871)(cid:1853){(cid:2869) , } (cid:1876) =(cid:1855)(cid:2869)(cid:2869) +(cid:1710)+(cid:1855) (cid:1877) =(cid:1856)(cid:2869)(cid:2869) +(cid:1710)+(cid:1856) (cid:1876) +(cid:1877) =(cid:4666)(cid:1855)(cid:2869)+(cid:1856)(cid:2869)(cid:4667)(cid:2869) +(cid:1710)(cid:4666)(cid:1855)+(cid:1856)(cid:4667) (cid:1871)(cid:1853){(cid:2869) , , } For any (cid:1872) , (cid:1872)(cid:1876) =(cid:4666)(cid:1872)(cid:1855)(cid:2869)(cid:4667)(cid:2869) +(cid:1710)(cid:4666)(cid:1872)(cid:1855)(cid:4667) (cid:1871)(cid:1853){(cid:2869) , , } We define the dot product of (cid:1876) and (cid:1877) by (cid:1876) (cid:1877) =(cid:1876)(cid:2869)(cid:1877)(cid:2869)+(cid:1876)(cid:2870)(cid:1877)(cid:2870)+(cid:1710)+(cid:1876)(cid:1877) Dot products: (cid:1876) (cid:1877) =(cid:885)+(cid:884)(cid:882) (cid:884) (cid:885) (cid:1876) (cid:1877) =(cid:883)8. Theorem 1. 4. 2: let (cid:1876) ,(cid:1877) ,(cid:1878) ,(cid:1871),(cid:1872) : (cid:1876) (cid:1876) (cid:3410)(cid:882), and (cid:1876) (cid:1876) =(cid:882) iff (cid:1876) =(cid:882) , (cid:1876) (cid:1877) =(cid:1877) (cid:1876, (cid:4666)(cid:1871)(cid:1876) +(cid:1872)(cid:1877) (cid:4667) (cid:1878) =(cid:1871)(cid:4666)(cid:1876) (cid:1878) (cid:4667)+(cid:1872)(cid:4666)(cid:1877) (cid:1878) (cid:4667) Notes: is called the positive definite, is called symmetric, is called left linear. (cid:1876)(cid:2870) Defn: if (cid:1876) , the length of (cid:1876) is defined by (cid:1876) = (cid:1876) (cid:1876)
