MATH-S 343 Chapter 3: S343 3.1 Notes (Sept. 27)
Document Summary
S343 section 3. 1 notes- homogeneous second order equations with constant coefficients. Second order linear equation- takes form (cid:1877) +(cid:1868)(cid:4666)(cid:4667)(cid:1877) +(cid:1869)(cid:4666)(cid:4667)(cid:1877)=(cid:1859)(cid:4666)(cid:4667); rewritten form of (cid:3118)(cid:3118)+(cid:1868)(cid:4666)(cid:4667)+(cid:1869)(cid:4666)(cid:4667)(cid:1877)=(cid:1859)(cid:4666)(cid:4667: given (cid:1842)(cid:4666)(cid:4667)(cid:1877) +(cid:1843)(cid:4666)(cid:4667)(cid:1877) +(cid:1844)(cid:4666)(cid:4667)(cid:1877)=(cid:4666)(cid:4667), if (cid:1842)(cid:4666)(cid:4667) (cid:882), divide all terms by it to get correct form, homogeneous if (cid:1859)(cid:4666)(cid:4667)=(cid:882), nonhomogeneous otherwise. Homogeneous with constant coefficients- (cid:1853)(cid:1877) +(cid:1854)(cid:1877) +(cid:1855)(cid:1877)=(cid:882: to solve, look for solution of form (cid:1877)=(cid:1857) (convenient form because derivatives repeat themselves with only a factor of (cid:1870) as a difference, so they can be factored out) (cid:1857) (cid:882) for all , so (cid:1853)(cid:1870)(cid:2870)+(cid:1854)(cid:1870)+(cid:1855)=(cid:882); known as characteristic equation: find correct value(s) of (cid:1870) by finding roots of characteristic equation, 3 possibilities for roots (cid:1870)(cid:2869),(cid:1870)(cid:2870): Complex (cid:4666)(cid:1870)(cid:2869)=(cid:2009)+(cid:2010),(cid:1870)(cid:2870)=(cid:2009) (cid:2010)(cid:4667: solutions to equation: (cid:1877)(cid:2869)=(cid:1857)(cid:3117), (cid:1877)(cid:2870)=(cid:1857)(cid:3118, for any (cid:1855)(cid:2869),(cid:1855)(cid:2870), general solution that also works is (cid:1877)=(cid:1855)(cid:2869)(cid:1877)(cid:2869)+(cid:1855)(cid:2870)(cid:1877)(cid:2870)=(cid:1855)(cid:2869)(cid:1857)(cid:3117)+(cid:1855)(cid:2870)(cid:1857)(cid:3118) (linear combination of two known solutions), assuming (cid:1870)(cid:2869),(cid:1870)(cid:2870) real and distinct. (cid:1877)=(cid:1855)(cid:2869)(cid:1877)(cid:2869)(cid:4666)(cid:4667)+(cid:1855)(cid:2870)(cid:1877)(cid:2870)(cid:4666)(cid:4667) is a solution of (cid:1853)(cid:1877) +(cid:1854)(cid:1877) +(cid:1855)(cid:1877)=(cid:882) (cid:1877) (cid:887)(cid:1877) +(cid:888)(cid:1877)=(cid:882: characteristic: (cid:1870)(cid:2870) (cid:887)(cid:1870)+(cid:888)=(cid:882) (cid:4666)(cid:1870) (cid:885)(cid:4667)(cid:4666)(cid:1870) (cid:884)(cid:4667)=(cid:882) (cid:1870)=(cid:884),(cid:885)
