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Tutorial 3 - Solutions.pdf

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Department
Mathematics
Course
MATH 1107
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Fall

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Tutorial #3    Question 1:  Given the following augmented matrix, determine the solution set using vector notation  (remember to separate and factor out parameters).   1▯2 46             ▯2▯1 13 ▯  Answer:    After row reducing to RREF you should get:  101▯ ▯3 ▯3 ▯013▯ ▯7 ▯9 ▯    This means that ▯ and ▯▯ are free variables (non‐pivots). If we give them the parame▯ers ▯ ▯▯ a▯d ▯ ▯▯ ,  this will give us the following solution set:    ▯▯▯3▯ ▯ ▯3 ▯▯▯ ▯3▯▯▯7▯ ▯▯9 ▯|▯ ,▯ ∈▯▯   ▯▯ ▯ ▯ ▯▯   ▯3 1 3 ▯ ▯ ▯ ▯9 ▯ ▯ ▯ ▯ ▯ ▯ ▯ ▯ ▯|▯ ,▯ ∈▯  ▯ 0 ▯ 1 ▯ 0 ▯ ▯ 0 0 1     Question 2:  Performing column operations will (almost always) not have the same solution set (unlike  performing row operations). The following two matrices have had one column swapped. Show that their  solution sets are not the same given the vector b in Ax=b  101 110 10 ▯▯ ▯022 ▯ ,▯▯ ▯022 ▯,▯▯ ▯ 8 ▯  110 101 12 Answer:    There are many ways to answer this. The intuitive student will notice that swapping columns will swap the position in  ▯ ▯ ▯ ▯ our solution, which means t▯ ▯  to the solution of A will correspon▯ ▯o in the solution for B. These are  ▯▯ ▯▯ almost always different vectors which means the solution sets will almost always be different.    Another way to do  this question is to find the solution set and show that they are not the same. The solution  9 9 set to A is ▯ ▯▯3▯▯ and the solution set for ▯ ▯▯ ▯1▯▯  1 3   Note: If there were infinite solutions, then all that a student would have to do is choose a solution from A and  matrix multiply it with B to see if it still worked (unless you are in the unlucky case where both have the same  solutions some or all of the time, can you think of such a pair of matrices?)      Question 3:  Perform the following matrix multiplication:   ▯1 2 1 111 ▯▯ ▯0 13 ▯ ,▯▯ ▯122 ▯ ▯▯ ▯?  420 011 Answer:  ▯▯1 1 ▯ 2 1 ▯ 1 ▯0▯▯ ▯ ▯▯1 1 ▯ 2 2 ▯ 1 ▯1▯▯ ▯ ▯▯1 1 ▯ 2 2 ▯ 1 ▯1▯▯ ▯ ▯▯ ▯ ▯ ▯0 1 ▯ 1 1 ▯ 3 ▯0▯▯ ▯ ▯0 1 ▯ ▯ 1 2 ▯ 3 ▯1▯▯ ▯0 1 ▯ 1 2 ▯ 3 ▯1▯ ▯ ▯  ▯4 1 ▯ ▯2 1 ▯ 0 ▯0▯▯ ▯ ▯4 1 ▯ ▯2 2 ▯ 0 ▯1▯▯ ▯ ▯4 1 ▯ ▯2 2 ▯ 0 ▯1▯▯ ▯ 1 4 4 ▯▯ ▯ ▯1 5 5▯  2 0 0   Question 4:  Determine 3 particular solutions and the solution to the homogenous system for Ax=b given  11▯0 301 be l   .    001 ▯02 ▯  Answer:    Here we see that ▯ ,▯  and▯▯  are free (non‐pivots). This means we ca▯ set▯ ▯▯▯▯ ,▯ ▯▯ ,▯▯▯▯ . Our  solution to this system will be:   ▯▯▯▯▯3▯ ▯▯1 ▯ ▯ ▯▯ ▯▯ ▯ ▯ ▯▯ ▯ 2▯▯▯2 ▯|▯▯,▯▯∈▯  
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