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Lesson 8b -Solving Systems Using Matrices and Vectors.pdf

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Mathematics
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MATH 1107
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18/09/2013 Augmented Matrix Recall our convention for using matrices to write systems of linear equations: Coefficients Ex: If we have a linear system: x1 x2 x3 Constant term x 22x 3xx  6 1 2 3 E1  1 -2 2 3 3 66  2x1 x 2 x 3 7 Equations E2  2 1 1 7   x  x  x  2   1 2 3 E3  1 1 -1 -2   = Could we write this aproduct of matrices in aquation? We call this Ax=b  1 -2 3  x1  6         2 1 1  x2   7  1 1 -1 x   2    3   Row Reducing Instead of Elimination Does doing any of our three row operations on our augmented matrix effect  our solution set? We will semi‐prove this for the 3x3 case, but this proof could be done in  general. Ltt Abe a 333 matiix, d tt bbe a3x11 vetor suh hattAb=b. c1  Furthermore, let c=  be any solution to Ax=b. c2  c   3  Thismeeans haat  A 1,1 A1,2 A1,3  1  1       A 1,1 1 1,2 2 1,3 3 1 A 2,1 A 2,2 A2,3      kA2,1 1kA2,2 2kA 2,3 3b2   A 3,1 1 3,2 2 3,3 3 3 A 3,1 A 3,2 A3,3     1 18/09/2013 Will a Row Swap Keep If we swap two of the rows, then we simply swap two of the equations This means that if we swap row 2 and 3 our   A111 A 122 A 133  1  1   x  b A 3,1 A 3,2 A 3,  2   3 A A A  x  b   2,1 2,2 2,     We see that c is still a solution to all three equations. A 1,1 1 1,2 2 c1,3 3 1 A 3,1 1 3,2 2 c3,3 3 3 A c + A c + A c = b 2,1 1 2,2 2 2,3 3 2 b1= 1 b = b 3 3 b2= 2 Will scaling a row keep If we scale any row by k (non‐zero), (say the second row) we would get a  matrix that looks like:  A 1,1 A1,2 A1,3  1  b1        kAA2,1 kA 2,2 kA 2,  2  kbb2  A 3,1 A3,2 A3,3  3  b3  A c + A c + A c = b 1,1 1 1,2 2 1,3 3 1 It still remains a solution: kA2,1 1kA 2,2 2A 2,3 3b 2 A3,1 1A 3,2 2 3,3 3 3 b1  b1 k(b2)= k2 We can factor out k: b3  b3 A1,1 1A 1,2 2 1,3 3 1 k(A c + A c + A c )= kb 2,1 1 2,2 2 2,3 3 2 A3,1 1A 3,2 2 3,3 3 3 2 18/09/2013 Will doing a row replacement keep? Say we replace R2k (R11+k (R2)2  A A A  x   b  1,1 1,2 1,3 1 1       k 1 1,1 k 2 2,1 k 1 1,2  k 2 2,2 k 1 1,3 k2A 2,3 x 2   k1 1  k2 2     A 3,1 A 3,2 A3,3  x 3  b3  A1,1 1A 1,2 2 c 1,3 3 1 It still remains a solu (k A +k A )c + (k A +k A )c + (k A +k A )c = k b +k b 1 1,1 2 2,1 1 1 1,2 2 2,2 2 1 1,3 2 2,3 3 1 1  2 2 b1  b1 A3,1 1A 3,2 2 c 3,3 3 3 k(b2)= kb2 We can simplify b3  b3 A1,11 1A1,22 2 c1,33 3 1 k1 1,1 1 2 2,1 1 A1 1,2 2 c2 2,2 2c 1 1,3 3=2 2,3 3 b1 1  2 2 A3,1 1A 3,2 2 c 3,3 3 3 We can rearrange A 1,1 1 c1,2 2c =1,3 3 1 k A c + k A c + k A c +k A c +k A c +k A c = k b +k b 1 1,1 1 1 1,2 2 1 1,3 3 2 2,1 1 2 2,2 2 2 2,3 3 1 1  2 2 A 3,1 1 c3,2 2c =3,3 3 3 Factoring gives us A 1,1 1 A1,2 2+A 1,3 3 b1 k 1A1,1 1A c1,2 2c 1,3 3A 2 2,1 1+A2,2 2 2,3 3k b1 1  2 2 A c + A c + A c = b 3,1 1 3,2 2 3,3 3 3 It still remains a solution: b1= b1 k 1 1  2 2  1 1  b2 2 b3= b3 3 18/09/2013 What does this mean? Any row operation we have will still have c as a solution. This means that any  solution to Ax = b will be a solution to Rx= b (where R aRd b is a row  reduced matrix from A and b) Is tpossibe thatwee end up with exta solutonss nRxx=bRtthatweerenoot n n our original Ax=b? The answer is no because we could simply undo the  row operations with the opposite row operations to get from Rx= b back  R to Ax=b. By the same logic, and solution that is in Rx= b will also be a  solution to Ax=b. This means the solution set to in Ax=b will be precisely the solution set to     Rx= bR.. Solution Sets Using Vector
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