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Lesson 9b -Homogenous Systems ^ Particular Solution.pdf

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Mathematics
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MATH 1107
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23/09/2013 Homogenous System A Homogenous System is a linear system Ax=b, where b = 0 (the vector of all  zeros). A homogenous system is always consistent! (It may be one solution, or  infinitely many solutions, but never no solution). Why? Ax=0 will always have the solution x = 0 (A matrix multiplied by the zero  veectorwiillawaays produuce the zero vector).. Solution Sets for Homogenous Systems Theorem: Any homogenous system with k free variables will have the following solution  set: S {t 1 1t v 2 2.t v |t ktk,..1,t2R} k Where our t ire the free variables, and our v ire non‐zero vectors. Why? Well any free variable (xj we must substitute x=jt idepending on the free  variable location, we may have to skip some basic variables before getting  to the next free variable). This means for each free variable, we introduce  a new parameter, and the vector (v) will (at minimum) have the jth entry  i as a 1. 1 23/09/2013 Example If we row reduce a matrix and it looks like the following: 1 0 2 0 0  0 1 2 1 0    0 0 0 0 0 00 00    Here we see tha3 x a4d x are free. Which means we will assign them each a different free  variable. In this case let us 3a1l th4m 2 =t and x =t . Right away we can see that the  number of free variables will match the number of parameters we have. If we continue  to solve for the basic variable1 we1get: 2 =‐1 2and x =‐2t ‐t . This gives us the solution  set as follows:  2t1 t2    2   0   We see that the free variables will be            written with a 1 in its corresponding    2t1     2   1  parameter vector. You will also  S       1  t2   know we do not end up with any   t1   1 0  extra vectors as row reducing zeros    t2     0   1   will only contribute a zero vector.     Connecting Uniqueness Theorem: A matrix that is non‐singular will always have a unique solution. Why? Say we had an nxn matrix A and a vector b such that Ax=b is our  solution. If it is non‐singular then it row reduces to the identity matrix.  Sinceweeproveddthatdoing oww operatons doesnottchange he soluton  set, our new system will ne I bRwhere is =Rb a vector that row reduces  using the same row operations that got Anto I . This means we have no  row of zeros, and no free variables. This forces our answer to be unique. Theorem:  Two row‐equivalent matrices will have the same solution set. Why? We know that if A and rref(A) have the same solution set. We know  that B and rref(B) have the same solution set. This means that if both  rref(A) and rref(b) are equal, they all must have the same solution set. 2 23/09/2013 Particular  Solution We call any one solution to Ax=b a particular solution. That is, any one  member to the solution set is considered a particular solution. If the  solution is unique, the particular solution is the solution set.   2 1t 2   2  0   1 0 0 2 2 00 0 0   2     2 1   0 1 2 1 0 S  
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