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Lesson 13b -Linear Dependence and Linear Independence.pdf

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Mathematics
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MATH 1107
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Fall

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30/09/2013 Linear Independence Given a set of vectors v , v , v , … , v , we call them linearly independent when: 1 2 3 n c1 1+c2 2+c 3 3…+c vn n only when c1, 2 ,3c , … n c are all 0. (note this is called the trivial solution) Another way to think of it is that the solution to the Homogenous equation where  A = [v1v 2 …3v ] nas the unique 0 solution (trivial solution). Linear Dependence Given a set of vectors v , v , v , … , v , we call them linearly dependent when: 1 2 3 n c1 1+c 2 2c 3 3…+c vn n Whhere c , c , c , … , c are nt allll ze(non‐tiiiv)lial)ttion.u 1 2 3 n Another way to think of it is that the solution to the Homogenous equation where   A = [v1v 2 …3v ] nas the infinitely many solutions. 1 30/09/2013 Linear Dependence Continued Theorem: If a set of vectors are linearly dependent, then one of the vectors is a  linear combination of the other vectors. Proof: v1, v2, v3, … , v n wee ccalllthemm llineaarry ddeppennddennttwh henn:: c v +c v +c v +…+c v =0 1 1 2 2 3 3 n n Where c , c , c , … , c are not all zero (non‐trivial) solution. 1 2 3 n Let us say c ii the one that is non‐zero, this means we can do: c1 1c v 2 2v ..3 3 v i1 i1c i1 i1 ...c vn nc v i i c c c c c c c 1 v  2 v  3 v ... 1 v  i1 v ... n v  i v  c 1  c 2  c 3  c 1  c i1  c n  c i i i i i i i i c c c c c c 1 v  2 v  3 v  ... i1 v  1 v  ... n v  v 1 2 3 i1 1 n i  c i  ci  ci  ci  c i  ci Thus one of the vectors can be written as a linear combination of the other vectors. Why is it important? Say we had a solution set that has infinitely many solutions, an immediate question  should follow:  “Could we represent this set with fewer vectors?”  2  0   2 Ex:         2  1  3 Could we represent                                              using fewer vectors?   1  0   1   0  1   1         Notice the following:   2 0 2   2   2 0  0                       2 1 3  S  c 2 c  2c 1c 1|| c ,,c ,Rc S  1  c2  c3  |1 c2,c3 R  11  31  20  30  11 2233    1  0  1               0  1  1     0   0  1  1     2  0    2  0  2 0           2 1  2 1    2 1  S   1  c2   3   |c1,2, 3 R  S (c1 c3 1  (c2c3) 0 |1, 2,3 R   1   0  1  0          0   1  0  1     0   1            2 30/09/2013 Why is it important? Let t = c +c , and t =c +c 1 1 3 2 2 3   2  0     2  1  S  1  2 |1 2 R    1   0     0   1         2  0  2 1 S Span  ,  1   0     0   1 This means that the two spans are the same, so why write more vectors than  needed? Reducing Sets Related To Free Variables Theorem:  Given the Span{v , v , v , … , v }. If one vector v is a linear combination of  1 2 3 n i other vectors in the set, then v can be iemoved from the set and the span will  still be the same.  Prrooff:: If  v is a linear combination of other vectors in the set, this means that  i vi= a 1 1a v2 2 v +3 3 v +a vi‐1 i‐1 i+1 i+1 n n This gives us that Span{v , v , v , … , v } is: 1 2 3 n {c v +c v +c v +…+c v +cv+c v +…+c v | c , c , c , … , c €R} 1 1 2 2 3 3 i‐1 i‐1 i i i+1 i+1 n n 1 2 3 n ={c 1 1c v2 2 v +3 3 v +c(+i‐1 i‐1v ia v1 1+a v2 2 v 3 3a v )  i‐1 i‐1 i+1 i+1 n n +c i+1 i+1v | c n n , c 1 …2, c3€R} n ={(c 1+cai 1 +1c +c2 )vi 2c +2a )v3+…+i 3+c3 )v
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