Class Notes (784,733)
Canada (481,323)
Biology (2,312)
Ben Bolker (16)

population growth

14 Pages
Unlock Document

McMaster University
Ben Bolker

January 14 , 2014 Biology 3SS3: Populations Ecology Population Growth Modeling Populations – How Populations Change ­ I survey a population in 2005, and again in 2009. I get a different answer the  second time ­ What is one reason I might get different numbers? • Death/birth • Immigration/emigration • Sampling (imperfect counts/measurement error) • Proximal levels ­ Proximate and ultimate Model Choices ­ Model choices are guided by: • Your questions and goals • A search for simplicity (parsimony): estimate parameters more easily,  easier to understand, less to go wrong but making it too simple is also a  disadvantage • Linking assumptions to outcomes as clearly as possible What Processes to Include ­ We start here with birth and death ­ If a population is interacting with other populations, we might want to model  immigration and emigration ­ We also might want to include all the different populations in the same model (a  metapopulation model): includes immigration and emigration How to Structure the Population ­ Our model dandelion population has no structure: all individuals are equivalent ­ The rabbit population does (we keep track of adults and juveniles separately) ­ Structured population models become complicated ­ Name one (type of) organism for which you would use unstructured models • Bacteria • Worms • Yeast  • Unstructured: annual plants, bacteria, animals with short life cycles • Structured: trees, cod fish • Depends on how similar individuals are How to Model Time (Continuous vs. Discrete) ­ Instantaneous rate of change vs. fixed time steps ­ Continuous­time models are conceptually simpler, although they don’t usually  feel that way • Don’t have to decide on order of events: birth and death is continuously  happening • Dynamics can be simpler (no overshoots) ­ Discrete­time models are easier for structured populations, and the math is easier  (no calculus) ­ Some organisms have more continuous, and some more discrete, schedules of  reproduction and development ­ Name one (type of) organism with a discrete reproduction schedule • Cicada: discrete population with a 17 year time model Interactions ­ We care about interaction because it can change birth and death rates: works if  they follow the birth and death rates ­ Do organisms interact with others in the population (conspecifics)? ­ Does the environment affect organisms, or do they affect their environment? ­ Do they interact with other organisms (predators, prey)? ­ We will ignore all of these things to start with (i.e., we will treat them implicitly) Stochastic vs. Deterministic ­ Deterministic models use rules to describe what will happen in a given situation:  number is precise and always comes out that way ­ Stochastic models use rules to describe the probability of different outcomes in a  given situation: random, builds in some of the uncertainties by looking at the  probabilities ­ Describe one advantage of stochastic models ­ Deterministic models are simpler ­ Stochastic models are more realistic, and they can describe the variable outcomes  as well as the average outcome Discrete­Time Models – Conceptual Model ­ Imagine censusing a population at regular time intervals  ­ Typically Δt = 1 year ­ Imagine that all individuals ar the same at the time of census ­ i.e., an unstructured population Implementation ­ If we have N individuals after T time steps, what determines how many  individuals we have after T + 1 time steps? ­ Assuming no stochasticity, population structure or interactions: • A fixed proportion p of the population (on average) survives to be counted  step T + 1 • Each individual creates (on average) f new individual that will be counted  step T + 1 ­ Thus N T + 1 (pN T+ fN )T= (p + f)N T • F = offspring • P = survival ­ What is the answer if individuals first survive, then reproduce • pfN + pN Calculation ­ λ = p + f is the finite rate of increase of the population ­ So N T + 1 λN T T ­ The solution to this equation is N  =TN λ 0 January 16 , 2014 Different Fecundity Calculations ­ Original case: f means the average offspring per individual, taking survival into  account • E.g.: say p = 0.5, f = 4, N T= 8. Then there are pN  =T4 survivors and fN  =  T (p + f) N T= 36 individuals in the next time step ­ New case: now f’ means the offspring of surviving individuals • Same situation: f’ = 8. There are still pN  T 4 survivors, and f’(pN ) = T x  (.5 x 8) = 32 newborns • Just a different way of counting/definition of f Time Steps ­ We use T to represent a unitless quantity measuring the number of time steps that  has passed ­ The amount of time that has passed is t = TΔt ­ λ is unitless, but it is associated with the time step Δt ­ This means it is potentially confusing! It is often better to use r or R (see below) ­ r = population growth rate per unit time ­ R = population growth rate per generation time Fecundity Components ­ Recall the definition of f: it has no units (average number of offspring) ­ Need to measure consistently across the annual cycle ­ From seed to seed, or sprout to sprout, or adult to adult ­ The answer should be the same however you count, as long as you count  consistently ­ Multiply: • Probability of surviving form census to reproduction • Expected number of offspring when reproducing • Probability of offspring surviving to census Gypsy Moth Calculation ­ Researchers studying a gypsy moth population estimate that: • The average reproductive female lays 600 eggs • 10% of eggs hatch into larvae • 10% of larvae mature into pupae • 50% of pupae mature into adults • 50% of adults survive to reproduce ­ All adults die after reproduction ­ What is λ for this population • 1.5 • Since p is zero (all adults die after reproduction) we do not need to add it  into the equation • N = the number of gypsy moths ­ When in the cycle should we start counting? ­ It doesn’t matter as long as we’re consistent Dealing with Sexes ­ Male reproductive output is highly variable, and often very hard to measure ­ In animals with sexual reproduction, usually more convenient to ignore males  completely ­ E.g., λ is calculated using female offspring per (adult) female ­ So the best answer to the problem above would be 0.75 ­ But it’s not always safe to assume a 1:1 sex ratio (except for class exercises) Measuring Survival ­ p is the proportion of individuals who survive one cycle ­ Need to measure consistently ­ From seed to seed, or sprout to sprout, or adult to adult ­ The answer should be the same however you count, as long as you count  consistently ­ Multiply: • Probability of surviving form census to reproduction • Expected number of offspring when reproducing • Probability of offspring surviving to census Populations with Overlapping Generations ­ When p > 0, some organisms survive from year to year ­ Name a potential problem with unstructured models in this case? • Individuals with different ages and sizes have different probabilities of  survival and different probabilities of fecundity • The model assumes that all individuals are the same • Newborns are almost never the same as their parents ­ How can we mitigate the problem without using a different model? • Census right before reproduction, when the smallest individuals may be  similar to their parents ­ What if the assumption breaks down for the question you are asking? • Make a model that keeps track of age classes – how many individuals of  each age Assumptions ­ What are we assuming if p = 0? • All individuals die after reproduction • Very plausible ­ What about p = 1? • All individuals survive after reproduction, continuously having offspring • No organisms where p = 1 ­ What about intermediate values? Lifetime ­ If p is the proportion of individuals that survive then:  • μ = 1 – p is the proportion that die ­ If μ = 0.25, how many time steps do you expect to live • ¾ chance of survival • 25% of dying in each time step • In general lifespan = 1/μ • On average • Average lifetime is 1/μΔt • Distribution is geometric: future span does not depend on age  (memoryless): always have the same expected lifespan every year Threshold Behaviour ­ What is the behaviour of this model? • Increases exponentially (when λ > 1) • Declines exponentially when λ  1 using μ instead? • f + (1 – μ) > 1 f > μ Reproductive Number ­ The reproductive number is the average lifetime reproduction per individual (or  females per female) ­ R is the average number of offspring per year, multiplied by the avererage  lifespan ­ Unlike λ, R is independent of the time Δt Discrete­Time R ­ Mean like time is 1/(1 – p) = 1/μ time steps ­ Average number of offspring per time step is f ­ Thus, R = f/μ for this model ­ Why do we multiply by time steps instead of actual time? • Because f is also measured per time step (match unit) Is the Population Increasing? ­ What does λ tell us about whether the population is increasing? ­ Population is increasing when λ > 1 ­ What does R tell us about whether the population is increasing? • Population is increasing when R > 1 • Each individual is (on average) more than replacing itself over its lifetime ­ Therefore these two criteria must be equivalent ­ Both come down to f > μ ­ It is more general because it does not implicitly depend on  January 17 , 2014 Thresholds for Persistence ­ What if the individuals in a population are growing, reproducing and establishing  just fine, but the average lifetime number of offspring per individual is less than  one? ­ The population will gradually get smaller and disappear ­ Thus, whe we ask what species occur where, we don’t just ask where they can  survive, we ask wehre they can survive and replace themselves ­ This answers the riddle from the first class ­ Why is there no malaria in Washington DC ­ Although mosquitos can survive, malaria can survive, and malaria can 
More Less

Related notes for BIOLOGY 3SS3

Log In


Don't have an account?

Join OneClass

Access over 10 million pages of study
documents for 1.3 million courses.

Sign up

Join to view


By registering, I agree to the Terms and Privacy Policies
Already have an account?
Just a few more details

So we can recommend you notes for your school.

Reset Password

Please enter below the email address you registered with and we will send you a link to reset your password.

Add your courses

Get notes from the top students in your class.