MATA23H3 Lecture 20: Adjoints, Cramer's Rule, and Eigenvalues
Document Summary
Mata23 - lecture 20 - adjoints, cramer"s rule, and eigenvalues. Determinants continued: let a be an n n matrix. A is invertible deta (cid:54)= 0 a11 a12 ai1 ai2 aj2 aj1 an1 an2 a1n ain ajn ann j2 + + aina(cid:48) 2j + + ania(cid:48) jn = nj = 0 : let a = ai1a(cid:48) a1ia(cid:48) j1 + ai2a(cid:48) 1j + a2ia(cid:48) and i = j i (cid:54)= j i = j i (cid:54)= j. Adjoints: let a = [aij] be an n n matrix, and let a(cid:48) = [a(cid:48) ij is the cofactor of aij. n1 a(cid:48) a(cid:48) n2 a(cid:48) ij], where a(cid:48) 3 2 1 (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) = 12 (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)6 3 (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)1 3 (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) = 6 (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) = 8 (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)1 6 (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) = 4 (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)2 1 (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)3 1 (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) = 2 (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) = 8 (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)3 2 (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)2 1 (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) = 12. 2: adj(a) = (a(cid:48))t , example 14: let a =
