Class Notes (839,096)
Canada (511,185)
York University (35,583)
MATH 3131 (1)
all (1)
Lecture

lecture_notes.docx

22 Pages
164 Views

Department
Mathematics and Statistics
Course Code
MATH 3131
Professor
all

This preview shows pages 1,2,3,4. Sign up to view the full 22 pages of the document.
Description
Statistics 309 09/02/2011 Sample Space (Ω) : a set of all possible outcomes  1) Toss a die : {1,2,3,…6} 2.) Class grade : {A, AB, B,…F}  4 colors          3 Cars               Ω        (3^4  = 81 out omes) Red                                1 Blue                               2 Green                            3 Black Toss 2 dice: {(1,1), (1,2)…(6,6)} = 36 outcomes An  event   A is a subset of  Ω.  [A c Ω] Ex. – 2 dice: A={ (i,j)    i + j ≥ 0  1. A = {H}. 2. A = {HH,HT,TH}=at least one head. 3. A = {1, 3, 5}=odd numbers, B = {5, 6}. 4. A={(i,j):i=6 or j=6}=atleastone”6”,B = {(i,j) : i+j ≥ 10}= sum of the two numbers greater or  equal to 10. complement: A , A ̄  or A′=the set of all outcomes in Ω that are not contained in A intersection: A ∩ B=the event that consists of all outcomes in both A and B  union: A∪B= all outcomes in either A or B or both A and B;  symmetric difference: A∆B= all outcomes in only A or only B;  ∅: null set or empty set: the event consisting of no outcomes whatsoever;  A ∩ B = ∅: mutually exclusive or disjoint events;  DeMorgan’s law:  (∪A) i= iA   i ci Example: Toss two dice: A = {1,2,3,4}, B = {3,4,5,6}, C ={1,3,5}, D = {2,4,6}. A∩B={3,4},  A∪B={1,2,3,4,5,6}=Ω,  A∪C={1,2,3,4,5},  A∩C={1,3}, C∩D=∅, c c c c c c A  = {5,6}, B  = {1,2}, (A∩B)  = {1,2,5,6}, A ∪B  = (A∩B) Definition: Events Ai are said to be pairwise disjoint (or mutually exclusive),if A∩A =φ fir ani  i= ̸ j. Definition: We say A1, ∙ ∙ ∙ , An is a partition of Ω if Ai are mutually disjoint and  ∪ ni=1A =i. Probability: A probability P is a mapping from subsets of Ω to [0,1] that assigns a unique  number in [o,1] for each event A and satisfies: 1.) P(φ) = 0 2.) P(A) ≥0 3.) ifA ire pairwise disjoint, then Example: Toss a coin: Ω = {H, T }. Assign P({H}) = p, P({T}) = q, which is a probability if p +  q = 1. Interpretation: (1). Relative frequency: Toss a coin or a die.  (2) Subjective: good chance for a stock to gain; high probability for a peace  agreement; likely to award contract; odd is good for a team to win a ball game. Properties:  P (Ac) = 1 − P (A); P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B), and P(A1 ∪ A2 ∪ A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)−P(A1 ∩ A2) − P(A1 ∩ A3)                 − P(A2 ∩ A3)+P(A1 ∩ A2 ∩ A3) Example: In a city 60% of all households subscribe to a national newspaper, and 80% of all  households subscribe to a local newspaper, and 50% subscribe both. If a household is selected at  random, what is the probability that it subscribes to (1) at least one of the two newspapers? (2)  none of the newspapers? (3) exactly one of the two papers? Solution. A = subscribe to a national newspaper, B = subscribe a local newspaper. A ∩  B=subscribe to both newspapers. P (A) = 0.6, P(B) = 0.8, P(A ∩ B) = 0.5. (1). A ∪ B= subscribe either local newspaper or national news­ paper or both  newspapers.  P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) = 0.6 + 0.8 − 0.5 = 0.9  c (2). (A ∪ B)  =subscribe none of the newspapers.                                                             P [(A ∪ B) ] = 1 − P(A ∪ B) = 1 − 0.9 = 0.1  (3). A∆B = subscribe exact one newspaper                                                                 P(A∆B) = P(A) − P(A ∩ B) + P(B) − P(A ∩ B) = P (A) + P (B) − 2 P (A ∩ B)= 0.6 +  0.8 − 2 × 0.5 = 0.4 Counting Rules Equally likely outcomes: Suppose Ω has N outcomes and the probabilities are equal for all N  elements, that is, each element has probability 1/N.   For any event A,   P(A) = #(A)/#( Ω) *Finding the probability is to count the elements in A and Ω Multiplication Rule: If a job consists of k separate tasks, the jth task can be done in n ways,j j=1,…,k, the entire job can be done in n X n1 X …2X n . k Permutation: (Order Matters) From n distinct objects, select k objects and line them up.  The  total number of ways is  n P  k n!/(n – k)! Combination: (No Order) From n distinct objects, select k objects (as a group).   The total number of ways is  C  k ( ) =kn!/k!(n – k)! Example: Suppose a bridge hand is dealt from a well­shuffled deck, that is, 13 cards are  randomly selected from among the 52 possible cards. Find the probability that: (1) the hand consists entirely of spades and clubs with both suits represented. (2) the hand consists of exactly two suits. Solution:. Let sample space =Ω= the hand with 13 cards randomly selected from 52 cards, A=the  hand consists entirely of spades and clubs with both suits represented, B=the hand consists of  exactly two suits. 52 26 #( Ω) = ( 13) » 635 billion,     #(A) = ( 13) – 2 = 10,400,600 We need to divide into two steps in finding #(B).  4 Step 1: Out of four suits, the number of ways to select two suits =  ( 2  Step 2: the number of ways to have a hand with both the selected two suits = #(A). Example: For a certain style of new automobile, the colors blue, white, black and green are in  equal demand. Three successive orders were placed for automobiles of this style. Find the  probabilities a. One blue, one white and one green are ordered.  b. Two blues are ordered. c. At least one black is orderedd. Exactly two of the orders are for the same color. Solution:  a.) A= one green, white, blue #(A) = P  = 3! (Permutation) 3 P(A) – 3!/4 3 b.) B = two cars are blue #(B) 1. Two blue cars, 2. The 3  car color. c.) C = at least one black is ordered 1black, 2 black, & 3 blacks C  = no black c P(C) = 1 – P(C ) #(C ) = 3 3 3 3 P(C) = 1 – 3 /4 d.) 1. Pick a color for two cars:  4 ( 1 3 2. Two same color cars:  ( 2 3. The 3  car:  3 ( 1 D = exactly two same color for two cars 4 3 3 #D=  ( 1( )2 ) 1 P(D) =  {( )( )( )}/(4 ) 3 1 2 1 Example: A box contains 25 balls, with 10 red and 15 green. Six balls are selected at random  without replacement. Find the probability that: (1) there are 3 red and 3 green in the 6 selected balls. (2) there are at least 2 red in the 6 selected balls. Solution: 1.) Ak = k red balls are selected. #(Ω) =  25 ( )6 To find A 3 we divide two steps. Step 1: select 3 balls from the 10 red balls and Step 2: select 3  balls from the 15 green balls. 10 15 #(A3) = ( )(3) 3 P(A) =  10 15 25 {( )(3)}/( 3 16) = 0.3083 2.) B = At least two red balls are selected = A2 ∪ A3 ∪ A4 ∪ A5 ∪ A6 Refer to [email protected] notes! Example :A 5­card poker hand is said to be a full house if it consists of 3 cards of the same  denomination (triple) and 2 cards of the same denomination (pair). That is, a full house is three  of a kind plus a pair. What is the probability that one is dealt a full house? Solution. Let sample space =Ω= the hand with 13 cards randomly selected from 52 cards, A= the  52 hand with full house. #(Ω) = C 5. o find #(A) we divide into steps:  (1) C  ways to select suits for a pair;  2 (2)C  3ays to select suits for a triple; 13 × 12 choices for the kind of pair and triple. #(A) = 13 ×  4 4 12 × C  2 C 3 4 4 53 P(A) = {13×12×C  ×C }2C  =30.00145 Example :A poker hand consists of 5 cards. If the cards have distinct consecutive values and not all of the same suit, we say that the hand is a straight, while 5 consecutive cards of the same suits is called a straight flush. For instance, a hand consisting of the five of spades, six of spades, seven of spades, and eight of spades, and nine of hearts is a straight. What is the probability that one is dealt a straight? Conditional Probability: the probability that event A occurs when the sample space is limited to  event B. The conditional probability of A given B is defined as: P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) , P(B) > 0 P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A) , P(A) > 0 We say A and B are independent if P(A ∩ B) = P(A) P(B) Look for “condition” or “given” in the problem! Properties:  P (A ∩ B) = P (A) P (B|A) = P (B) P (A|B) A and B are independent ⇐⇒ P(A|B) = P(A) ⇐⇒ Ac and B are independent ⇐⇒ A and Bc are  independent ⇐⇒ Ac and Bc are independent Example: A box contains 20 red and 30 green balls. Select 2 balls at random from the box. (a) If balls are selected without replacement, what is the probability that the first ball  is red and the second ball is green?  A1 = first ball is red, B2 = second ball is green P(A1) = 20/50 P(A1 ∩ B2) = P(B2|A1) P(A1) P(B2|A1) = 30/49 P(A1 ∩ B2) = (2/5)*(30/49) (b) If balls are selected without replacement, what is the probability that one is red  and one is green?  B1 = first ball is green , A2 = second ball is red P[(A1 ∩ B2) ∪ (B1 ∩ A2)] = P(A1 ∩ B2) + P(B1 ∩ A2) (20/50)*(30/49) + (30/50)*(20/49) (c) If balls are selected with replacement, what is the probability that the first ball is  red and the second ball is green?  A = first ball is red, B = second ball is green P(A) = 20/30 P(A ∩ B) = P(B|A) P(A) P(B|A) = 30/50 = P(B) P(A ∩ B) = (20/50)*(30/50) (d) If balls are selected with replacement, what is the probability that one is red and  one is green?  (e)  If balls are selected without replacement, what is the probability that the second  ball is green?  (f)  If balls are selected with replacement, what is the probability that the second ball  is green?  Example: A survey of consumers in a particular community showed that 10% were dissatisfied  with plumbing jobs done in their town. Half the complaints dealt with plumber A, who does 40%  of the plumbing jobs in the town. (a) Find the probability that a consumer will obtain an unsatisfactory plumbing job,  given that the plumber was A. A = plumbing jobs done by A , B = unsatisfactory plumbing jobs P(A) = 40% , P(B) = 10% P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A) P(A|B) = 50% P(A ∩ B) = 0.1*0.5 P(B|A) = (.1*.5) / 0.4 (b) Find the probability that a consumer will obtain a satisfactory plumbing job, given  that the plumber was A. P(Bc|A) = ? P(Bc|A) = 1 − P(B|A) =  Example A box contains three cards. One card is red on both sides, one card is green on both  sides, and one card is red on one side and green on the other. One card is selected from that box  at random, and the color on one side is observed. If this side is green, what is the probability that  the other side of the card is also green ? Front : [R]  [G]  [R] Back:    [R]  [G]  [G] Case 1: Back of G/G card Case 2: Front of G/G card Case 3: Front of R/G card Probability that the other side of the card is also green = 2/3 Total Probability Law of Total Probability: suppose H1, ∙ ∙ ∙ , Hn are a partition of Ω, then for any event B, P(B)= P(B ∩ H1) + P(B ∩ H2) + P(B ∩ H3)          = P(H1)P(B|H1) + P(H2)P(B|H2) + P(H3)P(B|H3) Bayes’ Theorem: suppose A1,…,An are a partition of Ω, P(Aj|B) = P(Aj ∩ B)/P(B) =  Independence Events A and B are independent ifP(A ∩ B) = P(A) × P(B) which is equivalent toP(A|B) = P(A),  P(B|A) = P(B) Events A1, ∙ ∙ ∙ , An are mutually independent if for every k and every subset of indices i1, ∙ ∙ ∙ ,  ik, P(Ai1 ∩Ai2 ∩∙∙∙∩Aik)=P(Ai1)P(Ai2)∙∙∙P(Aik) Example : A1, A2, A3 are mutually independent is not different from pairwise independence:  each pair of A1, A2, A3 are independent. Binomial Probability: There are large number of items.  Suppose that each item is defective with probability p and non­  defective with probability q = 1 − p, and items being defective or not are independent from each  others. Select n items at random with replacement and inspect them. Let X = the number of  defective items in the n selected items. Find probability P(X = k) for k = 0,∙∙∙ ,n. n k n—k  P(X = k) = ( )pkq Geometric Probability There are large number of items.  Suppose that each item is defective with probability p and non­  defective with probability q = 1 − p, and items being defective or not are independent from each  others. Select item by item at random (with replacement) until a first defective item is found. Let  Y = the number of items selected. Find probability P(Y = k) for k = 1,2,∙∙∙ ,. P(Y = k) = pq k—1  Negative Binomial Probability: There are large number of items. Suppose that each item is defective with probability p and non­ defective with probability q = 1 − p, and items being defective or not are independent from each  others. Select item by item at random (with replacement) until r defective item is found. Let W =  the number of items selected. Find probability P(W = k) for k = r, r + 1, ∙ ∙ ∙ ,. k—1  r k—r P(W = k) = ( r—1 )p q   r = “success”  Example: A certain devices can be sent back to the manufacturer for repair while under  warranty. Of these, 60% can be repaired and 40% must be replaced with new ones. (a)  What is the probability that one device must be replaced among the ten devices  that were sent back?  (b)  What is the probability that the first device that must be replaced was the tenth  send­ba
More Less
Unlock Document

Only pages 1,2,3,4 are available for preview. Some parts have been intentionally blurred.

Unlock Document
You're Reading a Preview

Unlock to view full version

Unlock Document

Log In


OR

Join OneClass

Access over 10 million pages of study
documents for 1.3 million courses.

Sign up

Join to view


OR

By registering, I agree to the Terms and Privacy Policies
Already have an account?
Just a few more details

So we can recommend you notes for your school.

Reset Password

Please enter below the email address you registered with and we will send you a link to reset your password.

Add your courses

Get notes from the top students in your class.


Submit