MATH-M 312 Lecture Notes - Lecture 7: Riemann Sum, Parametric Equation
Document Summary
Parametric curve- function (cid:1855):[(cid:1853),(cid:1854)] (cid:2871) or (cid:3041); one-dimensional object living in higher dimensions: curve (object) itself is range of (cid:1855) ; the whole function (cid:1855) is a parameterization of that curve, ex. (cid:1855)(cid:4666)(cid:1872)(cid:4667)=(cid:4666)cos(cid:1872),sin(cid:1872),(cid:1872)(cid:4667), (cid:1872) [(cid:882),6] Also sometimes written as (cid:1872) (cid:4666)cos(cid:1872),sin(cid:1872),(cid:1872)(cid:4667),(cid:1872) [(cid:882),6] circular helix curve. Suppose (cid:1855) is curve in (cid:2871) (or (cid:3041)) and (cid:1858): (cid:2871) (or (cid:3041) ) (cid:1856)(cid:1871) of (cid:1858) over (cid:1855): |(cid:3030)(cid:4666)(cid:3047)+1(cid:4667) (cid:3030)(cid:4666)(cid:3047)(cid:4667) (cid:3047)+1 (cid:3047) (cid:1872)+(cid:2869) (cid:1872)= (cid:1872) and as partitions (cid:1872)(cid:2868),(cid:1872)(cid:2869), ,(cid:1872)(cid:3041) of [(cid:1853),(cid:1854)] get finer, (cid:3030)(cid:4666)(cid:3047)+1(cid:4667) (cid:3030)(cid:4666)(cid:3047)(cid:4667) (cid:3047)+1 (cid:3047) (cid:1855) (cid:4666)(cid:1872)(cid:4667) Sum approaches (cid:1858)((cid:1855)(cid:4666)(cid:1872)(cid:4667))|(cid:1855) (cid:4666)(cid:1872)(cid:4667)| (cid:1856)(cid:1871) (cid:1856)(cid:1872)= (cid:1858)(cid:3030) (cid:3029)(cid:3028) If (cid:1858)=(cid:883), (cid:1858)(cid:3030) (cid:1856)(cid:1871) is arc length of (cid:1855) (cid:1856)(cid:1871)= |(cid:1855) (cid:4666)(cid:1872)(cid:4667)| Let (cid:1855) be the parametric curve (cid:1855)(cid:4666)(cid:1872)(cid:4667)=(cid:4666)cos(cid:1872),sin(cid:1872),(cid:1872)(cid:4667) for (cid:882) (cid:1872) (cid:884), and let (cid:1858)(cid:4666)(cid:1876),(cid:1877),(cid:1878)(cid:4667)=(cid:1876)(cid:2870)+(cid:1877)(cid:2870)+(cid:1878)(cid:2870). Suppose (cid:1855) is the curve described/occupied by a wire (a 1-dimensional object with mass) in (cid:2871). Suppose (cid:4666)(cid:1872)(cid:4667) is the density of the wire at the point (cid:1855)(cid:4666)(cid:1872)(cid:4667). Center of mass =(cid:4672) (cid:3051)(cid:3278) (cid:3031)(cid:3046), (cid:3052)(cid:3278) (cid:3031)(cid:3046), (cid:3053)(cid:3278) (cid:3031)(cid:3046)(cid:4673)
