Class Notes (837,615)
United States (325,112)
Mathematics (594)
MATH 140 (163)
all (9)

Notes Differentiation WITH THE ANSWERS

8 Pages
Unlock Document

MATH 140
All Professors

Notes – Differentiation Aleah Pisarz 9/24/12 – 10/3/12 1 Basic definition of derivatives: The rate of change in the values of  f  as  x  moves from  a  to  a+h  is lim f(a+h −f a ) h→0 h To make this “average rate” instantaneous one takes the limit of the above ration as  h→0 . If this limit exist, it is going to measure the instantaneous rate of change of  f '  at  a . It is called the derivative of   at  a  and is denoted by  f '(a) . Thus ' f(a+h )−f (a) f a =lim h→0 h if the limit exists. Ex. 2 f x =x ' f (a+h)−f (a) (a+h)−(a) 2 f (a)=lim =lim =¿ h→0 h h→0 h lim a +2ah+h −a 2 lim h(2a+h) h→0 = h→0 =lim (2a+h)=2a h h h→0 A function can fail to be differentiable if: 2 Notes – Differentiation Aleah Pisarz 9/24/12 – 10/3/12 Ex. f (x)= x⟦x⟧∧x>0 { x ∧x≤0 Is  f  differentiable at 0? Does f '(0)  exist? ' f 0+h −f (0 ) f h −0 f(h) f 0 =lh→0 h =lh→0 h =lh→0 h *at this point, we need to consider 1­sided limits −¿ h→0 (−1)=−1 h→0 −¿⟦h⟧=lim ¿ ¿ −¿ h⟦h⟧ h→0 h =li¿ ¿ h→0 −¿ f (h=lim ¿ h ¿ lim ¿ ¿ h→0 h=0¿ 2 h→0 +¿h =lim ¿ h ¿ f (h) h→0 +¿ =lim ¿ h ¿ lim ¿ ¿ the limit DNE, so no, f is not differentiable Is f continuous at 0? −¿ h→0 x ⟦x⟧=0 h→0 f (x)=lim ¿ ¿ lim ¿ ¿ +¿ 2 h→+¿x =0 h→0 f (x)=lim ¿ ¿ lim ¿ ¿ f (0)=0 Notes – Differentiation Aleah Pisarz 9/24/12 – 10/3/12 3 Yes, f is continuous at 0 Ex. f (x)=∣x∣ f x = −x∧x<0 { x∧x≥0 f is continuous but not differentiable If a function is differentiable at a, then it is continuous at a. However, if a function is  continuous at a, it is not necessarily differentiable at a. Derivative rules and trigonometry: Power rule: n ' x−1 f x =x →f x =nx ) Constant multiple rule: n ' n−1 f x =ax →f x =anx) Product rule: fg x =f x g x +g x f '(x) (first)(derivativeof second)+(second)(derivativefirst) Quotient rule: ' ' f (x = g x f x −f x g x ( ) (g [g (x)] (bottom )(deriv ativetop )− (top)(derivativebottom ) 2 bottom ) Chain rule: Let  h(x)=f g(x) ,) then  h x =f 'g x ))g (x) 4 Notes – Differentiation Aleah Pisarz 9/24/12 – 10/3/12 Trigonometric derivatives: sinx→cosx   cscx→−cscxcotx   cosx→−sinx   secx→secxtanx   2 2 tanx→sec x   cot→−csc x   Inverse trigonometric derivatives: −1 1 −1 1 sin x∨arcsinx→ 2 tan x∨arctanx→ 2 √1−x 1+x Exponential and logarithmic u u ' x2 x2 e →e u e →e 2x 1 2 1 lnx→ xx' ln x → 2 2x x 1 1 logax→ x' log53x→ 3 xlna 3xln5 2 →2 u ln2 2 →2 3ln2
More Less

Related notes for MATH 140

Log In


Join OneClass

Access over 10 million pages of study
documents for 1.3 million courses.

Sign up

Join to view


By registering, I agree to the Terms and Privacy Policies
Already have an account?
Just a few more details

So we can recommend you notes for your school.

Reset Password

Please enter below the email address you registered with and we will send you a link to reset your password.

Add your courses

Get notes from the top students in your class.