MATH 21 Lecture Notes - Lecture 23: Surjective Function, Linear Map, Isomorphism
Document Summary
: (cid:3041) (cid:3040) by (cid:4666)(cid:1876)(cid:4667)=(cid:1827) (cid:1857)(cid:4666)(cid:4667)=(cid:1866)(cid:1873)(cid:1864)(cid:1864)(cid:4666)(cid:1827)(cid:4667: let d: (cid:2871)[(cid:1876)] (cid:2870)[(cid:1876)] be derivative (cid:4666)(cid:2868)+(cid:2869)(cid:1876)+(cid:2870)(cid:1876)(cid:2870)+(cid:2871)(cid:1876)(cid:2871)(cid:4667)=(cid:2869)+(cid:884)(cid:2870)(cid:1876)+(cid:885)(cid:2871)(cid:1876)(cid:2870) (cid:1857)(cid:4666)(cid:4667)= rank of is dim((cid:4666)(cid:4667)) if = finite dimensional vector space, if is vector space, nullity of ((cid:1866)(cid:1864)(cid:1864)(cid:1872)(cid:1877)(cid:4666)(cid:4667))=dim((cid:1857)(cid:4666)(cid:4667)) = (cid:3041) (cid:3040) linear transformation is matrix (cid:1827): (cid:4666)(cid:4667)=(cid:1855)(cid:1867)(cid:1864)(cid:4666)(cid:1827)(cid:4667, (cid:1866)(cid:1863)(cid:4666)(cid:4667)=(cid:1866)(cid:1863)(cid:4666)(cid:1827)(cid:4667, (cid:1857)(cid:4666)(cid:4667)=(cid:1866)(cid:1873)(cid:1864)(cid:1864)(cid:4666)(cid:1827)(cid:4667, (cid:1873)(cid:1864)(cid:1864)(cid:1872)(cid:1877)(cid:4666)(cid:4667)=(cid:1866)(cid:1873)(cid:1864)(cid:1864)(cid:1872)(cid:1877)(cid:4666)(cid:1827)(cid:4667) Example: find kernel, range, nullity and rank from standard matrix given: # pivot columns = rank nullity = # nonpivot columns kernel = columns that span. *surjective or onto => if (cid:4666)(cid:4667)=(cid:1877), (cid:1876)+(cid:1877) are sets. Theorem: a function (cid:1858):(cid:1850) (cid:1851) is injective or one to one for each (cid:1877) (cid:4666)(cid:1858)(cid:4667) there is a single (cid:1857)(cid:1876)(cid:1868): =>exp(cid:4666)(cid:1876)(cid:4667)=(cid:1857) => exp bijective solution: t is bijective. =(cid:1865) dimensional vector space: if t injective (cid:1866)(cid:3409)(cid:1865, t surjective (cid:1866)(cid:3410)(cid:1865) : linear transformation: if t injective = if ((cid:1874)(cid:2869), (cid:1874)) linearly independent then ((cid:4666)(cid:1874)(cid:2869)(cid:4667), (cid:4666)(cid:1874)(cid:4667)) is linearly, (cid:1828)=(cid:4666)(cid:1874)(cid:2869), (cid:1874)(cid:4667) be the basis of . : linear transformation then is injective iff is surjective.
