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0654- Midterm Exam Guide - Comprehensive Notes for the exam ( 38 pages long!)


Department
Engineering
Course Code
0654
Professor
Dr Alexandrov
Study Guide
Midterm

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LU
0654
MIDTERM EXAM
STUDY GUIDE

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CHAPITRE
1Raisonnement
Vocabulaire
ensembliste
A. E
´le´ments de logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1. Construction de propositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2. Quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3. Me´thodes de de´monstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4. Le raisonnement par re´currence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
5. Le raisonnement par analyse et synthe`se . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
B. Notions sur les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1. Vocabulaire et notations usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2. Re`gles de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3. Familles d’ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
C. Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1. De´finitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2. Fonction caracte´ristique d’un sous-ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3. Image directe ou re´ciproque d’un sous-ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4. Injection – Surjection – Bijection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
D. De´nombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1. Cardinal d’un ensemble fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2. Re´union d’ensembles finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3. Applications d’un ensemble dans un autre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4. Combinaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
E. Relation binaire sur un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1. Vocabulaire et notations usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2. Relation d’e´quivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3. Relation d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Me´thodes :L’essentiel ; mise en œuvre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
E
´nonce´s des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
11
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Chapitre 1 : Raisonnement – Vocabulaire ensembliste
A. E
´le´ments de logique
1. Construction de propositions
La logique (mathe´ matique) s’inte´ resse
aux re` gles de construction de phrases mathe´ matiques correctes : propositions ou e´ nonce´ s,
et aux re` gles permettant d’e´ tablir la ve´ rite´ de ces phrases : the´ ore` mes ou proprie´ te´ s.
Un axiome est une proposition que l’on pose comme vraie.
Si Pet Qsont des propositions construites a` partir de propositions A,B,..., la notation
P Q signifie que Pet Qsont synonymes.
De´finition 1
Une table de vérité est un tableau qui indique si une proposition P, construite a` partir de
propositions A,B,C,..., est vraie ou fausse suivant les valeurs de ve´ rite´ de A,B,C,...
De´finition par tables de ve´rite´ de A,AB,AB
E
´tant donne´ des propositions A,B, on de´ finit de nouvelles propositions : (1)
(1)Dans ces tableaux, lors-
qu’une proposition est vraie,
on lui attribue la valeur 1,
lorsqu’elle est fausse, on lui
attribue la valeur 0.
la ne´ gation «non A»de A, note´ e A, c’est la proposition contraire de A;
elle est vraie quand Aest fausse et fausse quand Aest vraie.
la disjonction «Aou B», note´ e AB, la conjonction «Aet B», note´ e AB.(2)
(2) AAest toujours
fausse. AA
0 1
10
AB A B
0 0 0
01 1
10 1
11 1
AB A B
0 0 0
01 0
10 0
11 1
De´finition 2
Implication
E
´tant donne´ des propositions Aet B, l’implication ABest de´ finie par :
ABAB.(3)
(3) Noter que AB
peut eˆ tre vraie sans que B
le soit. Mais si ABest
vraie, Best une condition
ne´ cessaire pour Aet Aest
une condition suffisante pour
B.
De´finition 3
Équivalence
E
´tant donne´ des propositions Aet B, l’e´ quivalence ABest de´ finie par :
AB(AB)(BA).(4)
(4) ABet
ABn’ont la meˆ me
signification.
ABest vraie quand
Aet Bsont simultane´ ment
vraies ou fausses. Dans ce
cas, Aet Bsont des con-
ditions ne´ cessaires et suffi-
santes l’une pour l’autre.
A B A B
0 0 1
01 1
10 0
11 1
AB A B B A A B
0 0 1 1 1
01 1 0 0
10 0 1 0
11 1 1 1
Proprie´te´ 1
E
´tant donne´ une proposition A, on a : AA.
E
´tant donne´ des propositions Aet B, on a :
ABABet ABAB.
(AB)(BA).(5)
(5) L’implication BA
est l’implication contrapose´ e
de AB.ABAB.
12
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