MATH 133 Exam Solutions Fall 2018: Linear Algebra, Unit Circle, Canonical Basis

• School: McGill University
• Department: Mathematics and Statistics
• Course: MATH 133
• Professor: All

Document Summary

According with the rank-nullity theorem, we get (cid:1844)(cid:1853)(cid:1866)(cid:1863)(cid:4666)(cid:1827)(cid:4667)(cid:3397)(cid:1840)(cid:1873)(cid:1864)(cid:1864)(cid:1861)(cid:1872)(cid:1877)(cid:4666)(cid:1827)(cid:4667)(cid:3404)(cid:851)(cid:3)(cid:1867)(cid:1858)(cid:3)(cid:1855)(cid:1867)(cid:1864)(cid:1873)(cid:1865)(cid:1866)(cid:1871)(cid:1436)(cid:1844)(cid:1853)(cid:1866)(cid:1863)(cid:4666)(cid:1827)(cid:4667)(cid:3397)(cid:882)(cid:3404)(cid:887) Therefore, the rank of the matrix is 5, that is, the dimension of the row space. The eigenvalues of (cid:1827) are given by (cid:134)(cid:135)(cid:150)(cid:4672)(cid:885)(cid:3398)(cid:2019) (cid:1871) (cid:885)(cid:3398)(cid:2019)(cid:4673)(cid:3404)(cid:4666)(cid:885)(cid:3398)(cid:2019)(cid:4667)(cid:2870)(cid:3404)(cid:882)(cid:1436)(cid:2019)(cid:3404)(cid:885) (cid:882) The eigenvector of (cid:1827) are found solving the equation:(cid:4672)(cid:882) (cid:1871)(cid:882) (cid:882)(cid:4673)(cid:4672)(cid:1876)(cid:1877)(cid:4673)(cid:3404)(cid:4672)(cid:882)(cid:882)(cid:4673), if we take (cid:1876)(cid:3404)(cid:1872) then(cid:1877)(cid:3404)(cid:882) if(cid:1871)(cid:3405)(cid:882)(cid:484) so, the eigenvector is (cid:4666)(cid:883)(cid:481)(cid:882)(cid:4667)(cid:3021) and in this case (cid:1827) The eigenvalues of (cid:1828) are given by (cid:1872) (cid:134)(cid:135)(cid:150)(cid:4672)(cid:883)(cid:3398)(cid:2019) (cid:3398)(cid:884)(cid:3398)(cid:2019)(cid:4673)(cid:3404)(cid:4666)(cid:883)(cid:3398)(cid:2019)(cid:4667)(cid:4666)(cid:3398)(cid:884)(cid:3398)(cid:2019)(cid:4667)(cid:3404)(cid:882)(cid:1436)(cid:2019)(cid:3404)(cid:883)(cid:3)(cid:1853)(cid:1866)(cid:1856)(cid:3)(cid:2019)(cid:3404)(cid:3398)(cid:884)(cid:3) (cid:882) The eigenvector of (cid:1828) are found solving the equation: (cid:882) (cid:3398)(cid:885)(cid:4673)(cid:4672)(cid:1876)(cid:1877)(cid:4673)(cid:3404)(cid:4672)(cid:882)(cid:882)(cid:4673) , if we take (cid:1876)(cid:3404)(cid:1871) then (cid:1877)(cid:3404)(cid:882) , so the (cid:1872) For (cid:2019)(cid:3404)(cid:883)(cid:481)(cid:4672)(cid:882) eigenvector is (cid:4666)(cid:883)(cid:481)(cid:882)(cid:4667)(cid:3021) (cid:882)(cid:4673)(cid:4672)(cid:1876)(cid:1877)(cid:4673)(cid:3404)(cid:4672)(cid:882)(cid:882)(cid:4673) , if we take (cid:1876)(cid:3404)(cid:1871) then (cid:1877)(cid:3404)(cid:3046)(cid:3047) , so the. For (cid:2019)(cid:3404)(cid:884)(cid:481)(cid:4672)(cid:3398)(cid:883) (cid:1872) (cid:882) eigenvector is (cid:4666)(cid:883)(cid:481)(cid:883)(cid:512)(cid:1872)(cid:3)(cid:4667)(cid:3021)when (cid:1872)(cid:3405)(cid:882)(cid:3)and when (cid:1872)(cid:3404)(cid:882) the eigenvector is (cid:4666)(cid:882)(cid:481)(cid:883)(cid:4667)(cid:3021) In both cases, the eigenvectors are linearly independent, so (cid:1828)(cid:3)is diagonalizable. = number of nonpivot columns in (the row. Then, to be diagonalizable if it can be written on the form.