Study Guides (238,527)
Canada (115,195)
Economics (454)
ECON 2X03 (7)
T A (4)

chapter 7.docx

13 Pages
Unlock Document

McMaster University

Production and Costs: Many Variable Inputs • Isoquant à input bundle, gives fixed quantity • All bundle on the isoquant à collection of input bundles that allow you to produce the same  fixed quantity of output Isoquants and Input Substitution • Isoquant: is a curve composed of all bundles that produce some fixed quantity of output • Isoquants are to production theory what indifference curves are to consumer theory Ex. for the following production function: y = (1200z z ) 1 21/2 ­ fixing y we define1/2 isoquant, Ł y = 120 ­ 120 = (1200z z1 2  ­ Simplifying gives isoquant: 12= z z 1 2 Isoquants for courier services • all the bundles of hours and time on the 120­ kilometer isoquant will produce 120 km of courier  services • all the bundles on the 240­km isoquants will  produce 240 km of courier service • the farther an isoquant is from the origin, the  higher the level of output associated with it Problem 1. John Henry uses a furnace and fuel to produce  heat. The furnace can use either coal or wood for fuel.  One tonne of coal produces 5 kilojoules of heat, and one  tonne of wood produces 2 kilojoules. a. Given the furnace, the production function for heat is y= 5z  + 1z  wh2re y is kilojoules of  heat, z1 is tonnes of coal, and z2 s tonnes of wood i. Construct isoquant for 20 kilojoules 2. The standard bartender’s recipe for rum­and­coke calls for 10 ml of rum and 30 ml of Coke a. Implied PF y= min(z /101 z /32)  ▯y = # of drinks, z  i1 ml of rum, z  i2 ml of Coke i. Construct isoquant for 2 drinks (y=2) Problem • In (a) where inputs 1 & 2 are  perfect substitutes, any bundle on the  isoquant will produce 20 kilojoules of  heat • In (b) where inputs 1 & 2 are  perfect compliments, any bundle on the  isoquant will produce 2 drink • (b) min function  ▯L shaped o x­axis = 2 ▯(20,60) o find where the ‘kink’ is located  =when the 2 points equal each other Marginal Rate of Technical Substitution (MRTS)  • MRS  ▯to measure the rate at which one good was substituted for another, holding utility  constant • MRTS: measures the rate at which one input can be substituted for the other, with output  remaining constant o It is the absolute value of the slope of the isoquant o While you are on the same isoquant  ▯tells you how much to compensate for the other input to   keep the output at the same level Example • Find MRTS at bundle A given y=100: o What increase in the quantity if input 2 (Δ2 ) will compensate for the 5 units reduction in  quantity if input 1?  In graph  ▯input 2 must be increased by 3 units to get back to the isoquant  The increase Δz 23 compensates for the decrease Δz =1  The ratio Δz2/ Δz1= 3/5= 0.6 is a discrete rate of substitution that is equal to the absolute value  of the slope of the dashed line AB  Unsatisfactory measure because it depends on the magnitude of Δz 1 • The MRTS at pt A is the absolute value of the slope of the line TT, which is tangent to the  isoquant at A • any bundle allows you to produce 100  units • at A – quantity of input 1 reduces by 5,  need to increase quantity of input 2, by 3 units  = rate of sub between A & B = 3/5  o Had we chosen Δz =1, the non­marginal  rate of substitution would have been 7/7= 1  the absolute value of the line AC.  o A & C à 7/7 = 1 à rate of sub difference  as we move from A to another bundle   not good because we are after a unique  sub rate  ▯should have a specific fixed ratio o Unique sub rate = marginal sub rate è let  the change in input 1 approach 0, as the change  gets smaller and smaller the dashed line will  become the tangent line = that is when we achieve the marginal rate of sub; each slope of the tangent  line at each point à marginal rate o Slope of the tangent line at the point you pick on the isoquant à T to T at pt A MRTS • To find MRTS, just imagine what happens to the discrete rate of substitution as Δz1 gets  smaller and smaller  ▯eventually approaching 0 • As Δz approaches 0, the dashed line segments approaches the line labelled TT tangent to the  1  isoquant at input bundle A • Therefore, MRTS at bundle A is the absolute value of the slope TT (slope of the isoquant at  A) • Can use implicit function theorem to express MRTS in terms of the partial derivatives of the  PF F(z 1, z2  • MRTS of input 2 for input 1is the following: ϑF(z1,z2) ϑz1 MRTS(z  , 1 ) 2  =  ϑF(z1,z2) ϑz2 F Marginal Product =  MP1  =  z1 MP2 f z2 1/2 Example: Find MRTS of z fo2 z  w1en F(z  ,1z )2 (1200 z  1 )2   = √(1200z1z2) =[ ½  (1200z1z2)  (1/2 1200z2 ] / [½ (1200z1z2) 1/2 1200z1] = z2/z1 = MRTS Perfect Substitutes and Perfect Compliments • Inputs are perfect substitutes when 1 input can always be substituted for the other on fixed  terms and the MRTS is constant o Perfect sub = straight line (slope is fixed, no matter what the bundle you pick, the sub rate is  the same • Perfect compliments  ▯substitution is  impossible and the MRTS cannot be defined for the  bundle at the ‘kink’ in the isoquant o It is the case when the production function is defined as  F(z1,2 )=min (1 /A,2z /B) o L shaped  ▯cant sub  ▯slope of the kink is unknown Diminishing Marginal Rate of Technical Substitution  • Mast cases fall between perfect substitution & perfect compliments o 1 input can be substituted for the other but the MRTS is not constant o it is a defined ratio  ▯depends on which bundle you pick and changed between bundles • MRTS gets smaller and smaller, or diminishes, from left to right along an isoquant • MRTS of input 2 for input 1 = to the MP1 divided by MP2 MRTS as a Ratio of Marginal Products • When the quantity of input 1 is decreased by Δ1 , the change in y is (approx.) the MP of input  x the change in the quantity of input 1 Δy=MP Δz 1  1 • Since Δz  compensates for this reduction in z  it must produce an identical change output, Δy 2 1 Δy=MP Δz 2  2 • You are taking the derivatives  ▯ o Z1 changes by a certain put, what is the change in output?   MP = rate of change of output as your input changes o Δy =  change in output for each input o if on the same isoquant , change in output for two input should match o Δz2 = Δy / MP2 o Δz1 = Δy / MP 1 o Δz2 / Δz1  MRTS   ▯ when 1  is very small o Δy / MP2 )  / Δy / MP1 ) =MP1 / MP2 o MRTS = MP1 / MP2 Returns to Scale • Holding input mix constant so that we can look at the relationship between the scale of  production and quantity of output • Constant returns to scale: occurs when we increase the scale of production by some factor  ‘a’, output increases by the same factor ‘a’ o Starting as bundle (z 1 z2), if we increase the scale of production by factor a>1,   (az 1 az2) o output at the initial bundle = F(z1, 2 ) o output at the scaled­up bundle = F(az ,1az 2  • firm experiences a constant returns to scale  if:  F(az ,1az )2 a is F(z , 1 ) 2for a>1 • when we double our inputs  ▯output also   double , triples=triples Constant returns to scale • as we move from the origin along any ray,  we are holding the input mix constant while  varying the scale of production • starting at (3,4) on ray 0B or (6,2) on 0A o output doubles when the scale of  production doubles o output triples when the scale of production  triples • production function exhibits constant returns to scale returns to scale • increasing returns to scale: occurs when increasing all inputs by X% increases output by  more than X% ex. if a firm doubles its scale of production and its output triples F(az , az ) > a F(z ,z )  for a>1 1 2 1 2 • decreasing returns to scale: occurs when an increasing all inputs by X% increases output by  less than X% ex. if a firm doubles its scale of production, its output increases by less than double F(az ,1az )21 The Cost Minimization Problem: A Perspective • the cost function shows the minimum cost of producing any level of output in the long­run • the long­run cost minimizing problem is: o minimize  w z1 1  +z2 2 o choosing   z 1 d z 2 o subject to constraint y = F(z1, 2 )  main point  ▯to max profit, nee to minimize cost • in short­run  ▯atleast 2 input is fixed • quantity of 2 inputs x input process (W’s) • choosing – minimizing Conditional Input Demands Functions • solution to the problem gives the values of the endogenous variables: being chosen (z &   1*  * z2) as a f*  tion*of the exogenous variables: given (y, w  and1w ) 2 • z1& z  a2e dependent/conditional on the level of output y chosen  ▯the input demand  functions = conditional demand functions *  * • solution = cost minimizing bundle = z &  z 1 2 o conditional demand function   those functions give us the inputs depending on the input process and the quantity levels  gives us the numbers for the minimized cost The Long­Run Cost Function • once we know the input demand functions ▯ o  long­run cost function: sum of the input quantities and their respective prices *  * TC(y,w ,w )1= w 2 +w z 1 1 2 2   Solving Cost Minimization Problems • isocost line: shows all bundles of inputs that cost the same  ▯( z1,z2)   c = w z1 1 z 2 2  • absolute value of the slope of the isocost line it w /1 2 • slope indicates that w /1  2f input 2 must be given up to get an additional unit of input 1 • slope is the opportunity cost of input 1 in terms of input 2 • the set feasible input bundles for  of input 1 in terms of input 2 • the set feasible input bundles for y units of output is composed of all the input bundles on or  above the isoquant for y units of output • if  w1 1+w z2 2 100  o all the different bundles will cost the same output, all the different variables that will give you  this output is on the isocost line • w z = c – w z 2 2   1 1 • z2 = c/ w 2= w 1w  2z1) Cost minimizing bundle • to min the cost, we should be on the  isocost line closest to the origin • we are constrained to choose a feasible  input bundle from the blue area • bundles in the shaded area on and above  the isoquant are feasible bundles for 120  kilometers of output because they will produce  120 or more km of courier services • all bundles on the lowest isocost line cost  $24, and all bundles on the highest isocost line  cost $30 • least expensive bundle that will produce  120 km  ▯(2,6) ­­ $24 • $24 isocost line is tangent to the isoquant  at the cost­minimizing bundle (2,6)  ▯MRT is equal to  w /1  2t the cost­minimizing bundle Example • John Henry produces heat from coal and wood according to the following production  function: y=5z +1z 2 o where z  1s tonnes of coal and z  is 2onnes of wood.  • Assume that 2w   2z2= y­5z1 = y/2 – 5/2 (z1) • If 2wz > 5w2 è w /w  1> 2.5 è graph L \ Ł isoquant (slope = 2.5) and isocost is greater than 2.5  so isocosts are more steep 1, meets at base of isoquant other at bottom à first isocost is closest to origin è corner B bundle is the cost minimizing bundle à z1* = 0  ­­­­­­  no input 1 o input 2 = y = 5z1 + 2z2 2z2* = y  z2* = y/2 o Bundle (z1*,z2*) = (0, y/2) è cost minimizing bundle • If 2w1 = 5w2 è cost minimizing bundle = isocost and isoquant coincide è any bundle on  isoquant would be cost minimizing. Infinitely many bundles Two Principles of Cost Minimization 1. The cost minimizing input bundle is on the isoquant: y = F(z , z ) *
More Less

Related notes for ECON 2X03

Log In


Don't have an account?

Join OneClass

Access over 10 million pages of study
documents for 1.3 million courses.

Sign up

Join to view


By registering, I agree to the Terms and Privacy Policies
Already have an account?
Just a few more details

So we can recommend you notes for your school.

Reset Password

Please enter below the email address you registered with and we will send you a link to reset your password.

Add your courses

Get notes from the top students in your class.