MAT2777 Midterm: Exam Pratique Solutions (MAT2777 Winter 2016)

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Examen pratique pour MAT 2777 (solutionnaire)
Questions à réponses courtes
1. Il est possible qu'un bit transmis à travers d'un canal de transmission[6]
numérique soit reçu en erreur. Soit Xle nombre de bits en erreur
parmi les quatre prochains bits. Supposons que Xa la loi de probabilité
suivante.
P(X=x) =
0,66; x= 0
0,29; x= 1
0,04; x= 2
0,009; x= 3
0,001; x= 4
(a) Quelle est la probabilité qu'il y ait au plus 1 bit en erreur dans les
quatre prochains bits transmis ?
(b) Quel est le nombre espéré de bits en erreur dans les quatre prochains
bits transmis ?
(c) Calculer l'écart-type du nombre de bits en erreur dans les quatre
prochains bits transmis.
(d) Calculer P1,96 <XE[X]
V[X]<1,96.
Solution : (a) P(X1) = P(X= 0) + P(X= 1) = 0,95..
(b) E[X] = (0)(0,66)+1(0,29)+2(0,04)+3(0,009)+4(0,001) = 0,401
(c) V[X] = 02(0,66) + 12(0,29) + 22(0,04) + 32(0,009) + 42(0,001)
(0,401)2= 0,386199. Alors, σX=pV[X]=0,62145.
(d)
P 1,96 <XE[X]
pV[X]<1,96!
=P1,96 <X0,401
0,62145 <1,96
=P(1,96(0,62145) + 0,401 < X < 1,96(0,62145) + 0,401)
=P(0,8170 < X < 1,619)
=P(X= 0) + P(X= 1) = 0,95
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2. Un fabricant veut tester la durée de vie d'un petit moteur. La durée de[7]
vie moyenne devrait être au moins quatre années. On suppose que la
durée de vie est normalement distribuée.
(a) Le département de fabrication va faire une enquête approfondie
concernant le processus de fabrication, s'il y a des preuves que la du-
rée de vie est trop courte. Formuler une hypothèse nulle et alternative
appropriée.
(b) Le directeur général a indiqué que la vente de moteurs qui ne ré-
pondent pas aux normes est inacceptable. Alors, le département de
fabrication va faire une enquête approfondie, sauf s'il y a des preuves
signicatives que la durée de vie moyenne est conforme aux exigences.
Formuler une hypothèse nulle et alternative appropriée.
(c) On cueille un échantillon aléatoire de 15 moteurs. Dans la situation
de la partie (b), et avec un niveau de signication de 5%, donner une
règle de décision pour ce test.
(d) Supposons que la moyenne de l'échantillon est 4,13 années et que
l'écart type de l'échantillon est 0,35 années. Donner la conclusion du
test en fonction de votre règle de décision en (c) ?
Solution : Soit µla durée moyenne en années.
(a) On veut tester H0:µ= 4 contre H1:µ < 4.
(b) On veut tester H0:µ= 4 contre H1:µ > 4.
(c) C'est une alternative à la droite, alors nous rejetons H0si t0>
t0,05;14 = 1,761, où t0= (x4)/(s/15).
(d) Puisque t0= (x4)/(s/15) = (4,13 4)/(0,35/15) = 1,438,
alors t0<1,761. Les preuves contre H0ne sont signicatives. Nous
allons faire une enquête approfondie.
3. Soit Xle nombre de défauts de soudure pour une pièce. Sa moyenne[7]
est µ= 1,2défauts et son écart type est σ= 1,6défauts. En outre, la
probabilité qu'une pièce ait plus que 2 défauts est 0,2.
(a) Considérons 20 pièces. Quelle est la probabilité qu'au plus une
pièce aura plus que 2 défauts ?
(b) Considérons les pièces une à la fois. Quelle est la probabilité que
la sixième pièce est la première pièce avec plus de deux défauts ?
2
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(c) Chaque défaut prend environ 10 minutes à corriger. Si on a 50
pièces, approximer la probabilité qu'il nous faudra plus que 13,75
heures pour corriger tous les défauts.
Solution :
(a) Soit Yle nombre de pièces parmi n= 20 pièces qui ont plus que 2
défauts. Ysuit une loi binomiale avec n= 20 et p= 0,2. On veut
P(Y1) = 20
0p0(1 p)20 +20
1p1(1 p)19 = 0,0692.
(b) Soit Tle nombre de pièces requises an d'observer plus que 2
défauts. Tsuit une loi géométrique avec p= 0,2. On veut
P(Y= 6) = (1 p)5p= 0,0655.
(c) Soit Tile temps en minutes pour corriger les défauts de la ième
pièce. C'est Ti= 10 Xi, où Xiest le nombre de défauts pour la
ième pièce. On a
µ=E[Ti] = 10 E[Xi] = 10(1,2) = 12
et
σ=pV[Ti] = p102V[Xi] = p100 (1,6)2= 16.
La probabilité que le temps requis est supérieure à 13,75 heures
(c'est-à-dire 825 minutes) pour corriger les défauts pour 50 pièces
est
P 50
X
i=1
Ti>825!
=P 50
X
i=1
Ti/50 >825/50!
=PT > 16,5
1Φ16,512
16/50 (par le théorème central limite)
= 1 Φ(1,99)
= 1 0,9767 = 0,0233.
3
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