MAT235Y1 Midterm: MAT235Y1 - Term Test 4

• School: UTSG
• Department: Mathematics
• Course: MAT235Y1
• Professor: All

Document Summary

15. 8 - triple integrals in spherical coordinates. 15. 9 - change of variables in multiple integrals. 16. 3 - the fundamental theorem for line integrals. Recall from last lecture notes that the tangent vector at ((cid:1876)(cid:2868), (cid:1877)(cid:2868)) for the lower side of s, (cid:1874) = (cid:1874)(cid:2868): (cid:1818)(cid:3048) = (cid:1859)(cid:3048)((cid:1873)(cid:2868), (cid:1874)(cid:2868))(cid:1809) + (cid:3048)((cid:1873)(cid:2868), (cid:1874)(cid:2868))(cid:1810) = (cid:3105)(cid:3051) (cid:1755)(cid:1755)(cid:1809) + (cid:3105)(cid:3052) (cid:1755)(cid:1755)(cid:1810) (cid:3105)(cid:3048) (cid:3105)(cid:3048) The tangent vector at ((cid:1876)(cid:2868), (cid:1877)(cid:2868)) for the left side of s, (cid:1873) = (cid:1873)(cid:2868): (cid:2034)(cid:1876) (cid:1755)(cid:1755)(cid:1755)(cid:1809) + (cid:2034)(cid:1874) (cid:1818)(cid:3049) = (cid:1859)(cid:3049)((cid:1873)(cid:2868), (cid:1874)(cid:2868))(cid:1809) + (cid:3049)((cid:1873)(cid:2868), (cid:1874)(cid:2868))(cid:1810) = (cid:2034)(cid:1877) (cid:1755)(cid:1755)(cid:1755)(cid:1810) (cid:2034)(cid:1874) We can approximate the image region (cid:1844) = (cid:1846)((cid:1845)) by a parallelogram determined by the secant vector (cid:1801) = (cid:1818)((cid:1873)(cid:2868) + (cid:1873), (cid:1874)(cid:2868)) (cid:1818)((cid:1873)(cid:2868), (cid:1874)(cid:2868)) (cid:1802) = (cid:1818)((cid:1873)(cid:2868), (cid:1874)(cid:2868) + (cid:1874)) (cid:1818)((cid:1873)(cid:2868), (cid:1874)(cid:2868)) But we also know that: (cid:1818)(cid:3048) = lim. (cid:3048) (cid:2868) (cid:1818)((cid:1873)(cid:2868) + (cid:1873), (cid:1874)(cid:2868)) (cid:1818)((cid:1873)(cid:2868), (cid:1874)(cid:2868)) (cid:1755)(cid:1755)(cid:1755)(cid:1755)(cid:1755)(cid:1755)(cid:1755)(cid:1755)(cid:1755)(cid:1755)(cid:1755)(cid:1755)(cid:1755)(cid:1755)(cid:1755)(cid:1755)(cid:1755)(cid:1755)(cid:1755)(cid:1755)(cid:1755)(cid:1755) We can also get, (cid:1818)((cid:1873)(cid:2868) + (cid:1873), (cid:1874)(cid:2868)) (cid:1818)((cid:1873)(cid:2868), (cid:1874)(cid:2868)) (cid:1873)(cid:1818)(cid:3048) and (cid:1818)((cid:1873)(cid:2868), (cid:1874)(cid:2868) + (cid:1874)) (cid:1818)((cid:1873)(cid:2868), (cid:1874)(cid:2868)) (cid:1874)(cid:1818)(cid:3049)