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MATH 21A Harvard 21a Spring 09Midterm2 Practice3Exam


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Mathematics
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Math 21a Third Old Exam Two Spring, 2009
1Suppose F(x, y) = 2exy+ 2.
(a) Write down an equation for the tangent plane to the graph of F(x, y) at the point where
x=y= 10.
(b) Estimate the value of F(10.1,10.2) to one decimal place using the technique of linear
approximation.
2Consider the function F(x, y) = x2+y2+x2y.
(a) Find all the critical points of the function F(x, y).
(b) For each of the critical points you found in part (a), decide whether it is a local maximum,
local minimum, or a saddle for F(x, y).
(c) Find the maximum value of F(x, y) on the triangular region with vertices (0,0), (0,2), and
(2,2). The region includes the boundary of the triangle.
3The contour plot of the function f(x, y) is given in the figure below.
1 1 2 3 4 5 6
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(a) Indicate whether the statements below are true or false, and give an explanation.
(i) fx(a, b)6= 0
(ii) fx(a, b)> fx(c, d)
(iii) fx(a, b)< fy(a, b)
(iv) fxx(a, b)>0
(b) At each of the labeled points, draw a unit vector in the direction of fat the point.
(c) Which vector is longer, f(a, b) or f(c, d)?
4A moth’s position at time tseconds is given by the position vector r(t) = hcos(πt), t sin(πt),10i
(for t0). Suppose the temperature at any point in space is given in degrees Fahrenheit by
T(x, y, z) = 2xz +y2+z3+ 40. What is the rate of change of the temperature (in degrees per
second) as experienced by the moth at time t= 1?
5Let F(x, y) = g(x2y) where gis a continuous function of one variable with continuous first and
second derivatives. Calculate Fxy(2,2) + Fyx(2,2) if you also know that g(8) = 3 and g′′(8) = 1.
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