MATH136 Lecture Notes - Lecture 15: Proj Construction

• School: University of Waterloo
• Department: Mathematics
• Course: MATH136
• Professor: Alejandra Vicente Colmenares

Document Summary

Observe that if is an (cid:1865) (cid:1866) matrix then, (cid:1876) is a function from (cid:1844)(cid:3041)+(cid:882) (cid:1844)(cid:3040) Codomain is (cid:1844)(cid:2871: let (cid:1876) =[(cid:884) (cid:883)],(cid:1877) =[(cid:885)(cid:887), (cid:1858)(cid:4666)(cid:1876)(cid:4667)=(cid:1876) =[(cid:883) (cid:883) (cid:883)] . [(cid:884) (cid:883)]=[(cid:884)+(cid:883)(cid:886)(cid:888) (cid:883)]=[(cid:885)(cid:886)(cid:887)] (cid:884) (cid:882) (cid:885) (cid:885) (cid:884) (cid:884) (cid:883) (cid:885) (cid:883) (cid:1858)(cid:4666)(cid:1877)(cid:4667)=(cid:1877) =[(cid:883) (cid:883) (cid:883)] . [(cid:885)(cid:887)]=[(cid:885) (cid:887) (cid:888)(cid:891) + (cid:887)]=[ (cid:884)(cid:888)(cid:883)(cid:886)] (cid:882) (cid:884) (cid:885) (cid:885) (cid:883) Let (cid:1839)(cid:3040) (cid:3041)(cid:4666)(cid:1844)(cid:4667) then for any (cid:1876) ,(cid:1877) (cid:1844)(cid:3041),(cid:1871),(cid:1872) (cid:1844) one have (cid:4666)(cid:1845)(cid:1876) +(cid:1872)(cid:1877) (cid:4667)=(cid:1845)(cid:1876) +(cid:1872)(cid:1877) . Determine of the following one linear mappings: (cid:1858)(cid:4666)(cid:1876)(cid:2869),(cid:1876)(cid:2870)(cid:4667)}=(cid:1876) (cid:1858)(cid:4672)[(cid:1876)(cid:2869)(cid:1876)(cid:2870)](cid:4673)=[(cid:884)(cid:1876)(cid:2869) (cid:1876)(cid:2870) (cid:1876)(cid:2869)+(cid:885)(cid:1876)(cid:2870)] Soln : for any (cid:1876) ,(cid:1877) (cid:1844)(cid:2870) and (cid:1871), (cid:1872) (cid:1844). (cid:1858)(cid:4672)(cid:1871)[(cid:1876)(cid:2869)(cid:1876)(cid:2870)]+(cid:1872)[(cid:1877)(cid:2869)(cid:1877)(cid:2870)](cid:4673)=(cid:1858)(cid:4672)[(cid:1871)(cid:1876)(cid:2869)+(cid:1872)(cid:1877)(cid:2869) (cid:1871)(cid:1876)(cid:2870)+(cid:1872)(cid:1877)(cid:2870)](cid:4673) =(cid:1871) (cid:1858)(cid:4666)(cid:1876) (cid:4667)+(cid:1872) (cid:1858)(cid:4666)(cid:1877) (cid:4667), so (cid:1858) is linear: (cid:1838)(cid:4672)[(cid:1876)(cid:2869)(cid:1876)(cid:2870)](cid:4673)=[(cid:1876)(cid:2869) (cid:1876)(cid:2870)(cid:1876)(cid:2869)(cid:1876)(cid:2869)(cid:2870) (cid:1838) is not linear. (cid:1855)(cid:4667) proj (cid:4666)(cid:1876) (cid:4667) For any (cid:1876) ,(cid:1877) (cid:1844)(cid:3041) ,(cid:1871) ,(cid:1872) (cid:1844) one have. Defn : let (cid:1838) (cid:1844)(cid:3041) (cid:1844)(cid:3040) be a linear mapping, their range (cid:4666)(cid:1838)(cid:4667) is a subspace of (cid:1844)(cid:3041) Procf : by defn (cid:1844)(cid:3040), range (cid:4666)(cid:1838)(cid:4667) is a subset.