MATH30650 Lecture 7: Diff eq lecture 7
Document Summary
Alternatively, you can directly solve the equation where (cid:2033) = (cid:2033)(cid:2868) (cid:1865)(cid:1877)(cid:4593)(cid:4593) +(cid:1863)(cid:1877) = (cid:1832)(cid:2868)cos ((cid:2033)(cid:2868)(cid:1872)) (cid:2033)(cid:2868)=the natural frequency, where (cid:1832)(cid:2868) = 0. Differential equations page 1 (cid:2033)(cid:2868)=the natural frequency, where (cid:1832)(cid:2868) = 0. Answer to non-homogeneous part: (cid:1851) = (cid:1827)(cid:1855)(cid:1867)(cid:1871)((cid:2033)(cid:2868)(cid:1872))+(cid:1828)(cid:1871)(cid:1861)(cid:1866)((cid:2033)(cid:2868)(cid:1872)) (cid:1851) = (cid:1827)(cid:1872)(cid:1855)(cid:1867)(cid:1871)((cid:2033)(cid:2868)(cid:1872))+(cid:1828)(cid:1872)(cid:1871)(cid:1861)(cid:1866)((cid:2033)(cid:2868)(cid:1872)) Conditions for resonance: undamped or slightly damped system. In the real world, most systems are not actually linear. However, many of them can be approximated with a linear system. However, if theta is small, then (cid:1871)(cid:1861)(cid:1866)(cid:2016) (cid:2016) Also, the period is independent of the amplitude (until the amplitude starts getting very long. This is general, not just for a pendulum. Any time you have small oscillations around an equilibrium, you can linearize (cid:1832) = (cid:1865)(cid:1853) (cid:1848) = (cid:1868)(cid:1867)(cid:1872)(cid:1857)(cid:1866)(cid:1872)(cid:1861)(cid:1853)(cid:1864) (cid:1857)(cid:1866)(cid:1857)(cid:1870)(cid:1859)(cid:1877) = (cid:3505)(cid:1832)((cid:1877))(cid:1856)(cid:1877) (cid:1832) = (cid:1856)(cid:1848) (cid:1856)(cid:1877) (cid:1838)(cid:1755)(cid:1755)(cid:1871)(cid:1861)(cid:1866)(cid:2016) = 0 (cid:3013)(cid:1755)(cid:2016) = 0. Differential equations page 2 (cid:1832) = (cid:1856)(cid:1848) (cid:1856)(cid:1877)(cid:1755)(cid:1755)(cid:1755) (cid:1865)(cid:1877)(cid:4593)(cid:4593) = (cid:1848) ((cid:1877)) (cid:1865)(cid:1877)(cid:4593)(cid:4593) +(cid:1848)(cid:4593)((cid:1877)) = 0. Assume (cid:1848)(cid:4593)(cid:4593)((cid:1877)) > 0 (cid:1864)(cid:1867)(cid:1855)(cid:1853)(cid:1864) (cid:1865)(cid:1861)(cid:1866)(cid:1861)(cid:1865)(cid:1873)(cid:1865) ((cid:1871)(cid:1872)(cid:1853)(cid:1854)(cid:1864)(cid:1857) (cid:1857)(cid:1869)(cid:1873)(cid:1861)(cid:1864)(cid:1861)(cid:1854)(cid:1870)(cid:1861)(cid:1873)(cid:1865))
