MAT 211 Lecture Notes - Lecture 12: Linear Map, Linear Independence

• School: Stony Brook University
• Department: Mathematics
• Course: MAT 211
• Professor: Dr.Luigi Lombardi

Document Summary

Let t(cid:4666)x (cid:4667)=(cid:1876) (cid:271)e a li(cid:374)ear tra(cid:374)sfor(cid:373)atio(cid:374) fro(cid:373) r(cid:2897) to r(cid:2898) we (cid:272)a(cid:374) defi(cid:374)e the ker(cid:374)el of t as. Ker(cid:4666)t(cid:4667)=ker(cid:4666)a(cid:4667)={(cid:1876) in (cid:3014) such that a(cid:1876) =(cid:882) } (cid:1865)(cid:4666)(cid:4667)=(cid:1865)(cid:4666)(cid:4667)={(cid:1877) (cid:1866) (cid:3015) (cid:1871)(cid:1873)(cid:1855) (cid:1872) (cid:1853)(cid:1872) (cid:1877) =(cid:1876) (cid:1858)(cid:1867)(cid:1870) (cid:1871)(cid:1867)(cid:1865)(cid:1857) (cid:1876) (cid:1866) (cid:3014)} We (cid:272)a(cid:374) defi(cid:374)e the i(cid:373)age of t as: Co(cid:374)sider the orthogo(cid:374)al proje(cid:272)tio(cid:374) fro(cid:373) (cid:2870) (cid:1872)(cid:1867) (cid:2870) o(cid:374)to a li(cid:374)e l. Ker(cid:894)t(cid:895)= all (cid:448)e(cid:272)tors o(cid:374) (cid:1838) = perpe(cid:374)di(cid:272)ular li(cid:374)e (cid:1872) (cid:1838) I(cid:373)={all (cid:448)e(cid:272)tors of (cid:2870)} (cid:4666)(cid:1876) (cid:4667)=(cid:1876) fro(cid:373) to (cid:2872) Let"s (cid:272)o(cid:374)sider a li(cid:374)ear tra(cid:374)sfor(cid:373)atio(cid:374) gi(cid:448)e(cid:374) (cid:271)(cid:455) the (cid:373)atri(cid:454): A= (cid:1837)(cid:1857)(cid:1870)(cid:4666)(cid:4667)={(cid:1876) (cid:1866) (cid:2873) (cid:1871)(cid:1873)(cid:1855) (cid:1872) (cid:1853)(cid:1872) (cid:1876) =(cid:882) } I(cid:373)(cid:894)a(cid:895) is the spa(cid:374) of the (cid:272)olu(cid:373)(cid:374)s of a. I(cid:373)(cid:894)a(cid:895)={(cid:1877) (cid:1866) (cid:2872) (cid:1871)(cid:1873)(cid:1855) (cid:1872) (cid:1853)(cid:1872) (cid:1877) =(cid:1876) (cid:1858)(cid:1867)(cid:1870) (cid:1871)(cid:1867)(cid:1865)(cid:1857) (cid:1876) (cid:1866) (cid:2873)} (cid:1876) =((cid:1876)(cid:2869) (cid:1876)(cid:2873)) (cid:1877) (cid:1866) (cid:1865)(cid:4666)(cid:4667)(cid:1858) (cid:1877) =(cid:1876) =(cid:1876)(cid:2869)(cid:1874)(cid:2869) +(cid:1876)(cid:2870)(cid:1874)(cid:2870) ++(cid:1876)(cid:2873)v(cid:2873) . Therefore the i(cid:373)age of a (cid:272)o(cid:374)sists of all li(cid:374)ear (cid:272)o(cid:373)(cid:271)i(cid:374)atio(cid:374)s of (cid:1874)(cid:2869) , ,(cid:1874)(cid:2873) . But this is just the spa(cid:374) of (cid:1874)(cid:2869) , ,(cid:1874)(cid:2873) .