[MATH 4A] - Final Exam Guide - Everything you need to know! (25 pages long)
Document Summary
Sections covered: 1. 9, 2. 1, 2. 2, 2. 3, 2. 8, 3. 1, 3. 2, 4. 1, 4. 2, 4. 3, 4. 4. All linear transformations (cid:1846) (cid:3041) (cid:3040) are matrix linear transformations: (cid:1876) =[(cid:1876)(cid:2869)(cid:1876)(cid:2870)(cid:1709)(cid:1876)(cid:3041)]=(cid:1876)(cid:2869)[(cid:883)(cid:882)(cid:1709)(cid:882)]+(cid:1876)(cid:2870)[(cid:882)(cid:883)(cid:1709)(cid:882)]+(cid:1710)(cid:1876)(cid:3041)[(cid:882)(cid:882)(cid:1709)(cid:883)] is a linear combination of the vectors, [(cid:883)(cid:882)(cid:1709)(cid:882)],[(cid:882)(cid:883)(cid:1709)(cid:882)], [(cid:882)(cid:882)(cid:1709)(cid:883)] (standard basis of (cid:3041): (cid:1846)(cid:4666)(cid:1876) (cid:4667)=(cid:1876)(cid:2869)(cid:1846)[(cid:883)(cid:882)(cid:1709)(cid:882)]=(cid:1876)(cid:2869)(cid:1846)[(cid:883)(cid:882)(cid:1709)(cid:882)]+(cid:1876)(cid:2870)(cid:1846)[(cid:882)(cid:883)(cid:1709)(cid:882)]+(cid:1710)(cid:1876)(cid:3041)(cid:1846)[(cid:882)(cid:882)(cid:1709)(cid:883), you only need to know each (cid:1846)(cid:4666)(cid:1857) (cid:3037)(cid:4667) where (cid:1857) (cid:3037)=[ (cid:882)(cid:1709)(cid:883)(cid:1709)(cid:882) ] jth entry (denote (cid:1853) (cid:3037)=(cid:1846)(cid:4666)(cid:1857) (cid:3037)(cid:4667) (cid:1846)(cid:4666)(cid:1876) (cid:4667)=(cid:1846)(cid:4666)(cid:1876)(cid:2869)(cid:1857) (cid:2869)+(cid:1876)(cid:2870)(cid:1857) (cid:2870)+(cid:1710)(cid:1876)(cid:3041)(cid:1857) (cid:3041)(cid:4667)=(cid:1876)(cid:2869)(cid:1846)(cid:4666)(cid:1857) (cid:2869)(cid:4667)+(cid:1876)(cid:2870)(cid:1846)(cid:4666)(cid:1857) (cid:2870)(cid:4667)+(cid:1710)(cid:1876)(cid:3041)(cid:1846)(cid:4666)(cid:1857) (cid:3041)(cid:4667)= (cid:1876)(cid:2869)(cid:1853) (cid:2869)+(cid:1876)(cid:2870)(cid:1853) (cid:2870)+(cid:1710)(cid:1876)(cid:3041)(cid:1853) (cid:3041: (cid:1846)(cid:4666)(cid:1876) (cid:4667)=[(cid:1853) (cid:2869) (cid:1853) (cid:2870) (cid:1853) (cid:3041)][(cid:1876)(cid:2869)(cid:1876)(cid:2870)(cid:1709)(cid:1876)(cid:3041)]=(cid:1827)(cid:1876, the matrix (cid:1827)=[(cid:1853) (cid:2869) (cid:1853) (cid:2870) (cid:1853) (cid:3041)] is called the standard matrix for the linear. Suppose (cid:1846) (cid:3041) (cid:3040) is a (matrix) linear transformation: (cid:1846) is one-to-one if (cid:1873) (cid:1874) implies that (cid:1846)(cid:4666)(cid:1873) (cid:4667) (cid:1846)(cid:4666)(cid:1874) (cid:4667) One-to-one, onto: each (cid:1854) in (cid:3040) is the image of at most one (cid:1876) in (cid:3041, (cid:1846)(cid:4666)(cid:1873) (cid:4667)=(cid:1846)(cid:4666)(cid:1874) (cid:4667) implies (cid:1873) =(cid:1874, (cid:1846)(cid:4666)(cid:1873) (cid:4667)=(cid:1846)(cid:4666)(cid:1874) (cid:4667) means that (cid:1846)(cid:4666)(cid:1873) (cid:1874) (cid:4667)=(cid:882) . (cid:1846) linear transformation: (cid:1846)(cid:4666)(cid:1875) (cid:4667)=(cid:882) exactly when (cid:1875) =(cid:882) .
