MATH-M 344 Chapter 6: M344 6.6 Notes (Jan. 20)
Document Summary
Assuming order of integration can be reversed, we rewrite equation so integration with. Sometimes possible to identify laplace transform (cid:1834)(cid:4666)(cid:1871)(cid:4667) as product of transforms {(cid:1858)(cid:4666)(cid:1872)(cid:4667)}=(cid:1832)(cid:4666)(cid:1871)(cid:4667) and. Let (cid:1858),(cid:1859) be piecewise continuous functions; convolution of (cid:1858) and (cid:1859) is (cid:4666)(cid:1858) (cid:1859)(cid:4667)(cid:4666)(cid:1872)(cid:4667)= (cid:1858)(cid:4666)(cid:4667)(cid:1859)(cid:4666)(cid:1872) (cid:4667) (cid:1856) Theorem 6. 6. 1- if (cid:1832)(cid:4666)(cid:1871)(cid:4667)= {(cid:1858)(cid:4666)(cid:1872)(cid:4667)} and (cid:1833)(cid:4666)(cid:1871)(cid:4667)= {(cid:1859)(cid:4666)(cid:1872)(cid:4667)} exist for (cid:1871)>(cid:1853) (cid:882) where (cid:1858) and (cid:1859) are piecewise continuous functions, then (cid:1834)(cid:4666)(cid:1871)(cid:4667)=(cid:1832)(cid:4666)(cid:1871)(cid:4667)(cid:1833)(cid:4666)(cid:1871)(cid:4667)= { (cid:4666)(cid:1872)(cid:4667)} for (cid:1871)>(cid:1853), where (cid:4666)(cid:1872)(cid:4667)=(cid:4666)(cid:1858) (cid:1859)(cid:4667)(cid:4666)(cid:1872)(cid:4667)= Can write as iterated integral because (cid:1832)(cid:4666)(cid:1871)(cid:4667) does not depend on. Let =(cid:1872) for fixed , so that (cid:1856)=(cid:1856)(cid:1872: =(cid:882) corresponds to (cid:1872), = corresponds to (cid:1872)= , transforms inner integral to one in terms of (cid:1872) Find the inverse transform of (cid:1834)(cid:4666)(cid:1871)(cid:4667)= (cid:3046) (cid:3046)(cid:3118)(cid:4666)(cid:3046)(cid:3118)+(cid:2872)(cid:4667): (cid:1834)(cid:4666)(cid:1871)(cid:4667)= (cid:2869)(cid:3046)(cid:3118) (cid:3046)(cid:3046)(cid:3118)+(cid:2872, {cos(cid:884)(cid:1872)}= (cid:3046)(cid:3046)(cid:3118)+(cid:2872) {(cid:1872)}= (cid:2869)(cid:3046)(cid:3118, (cid:1834)(cid:4666)(cid:1871)(cid:4667)= {cos(cid:884)(cid:1872)} {(cid:1872)} = { (cid:4666)(cid:1872)(cid:4667)}, where (cid:4666)(cid:1872)(cid:4667)= (cid:4666)cos(cid:884)(cid:4667)(cid:4666)(cid:1872) (cid:4667) (cid:1856: properties (many similar to regular multiplication): zero function. = (cid:2869)(cid:2872)(cid:4666)cos(cid:884)(cid:1872) (cid:883)(cid:4667: (cid:1834)(cid:4666)(cid:1871)(cid:4667)= (cid:3046)(cid:3118)(cid:4666)(cid:3046)(cid:3118)+(cid:2872)(cid:4667)= (cid:2869)(cid:3046)(cid:4666)(cid:3046)(cid:3118)+(cid:2872)(cid:4667) can use partial fractions as alternate method (cid:3046)
