Class Notes (835,600)
Canada (509,275)
Mathematics (341)
MATH 1107 (21)
all (8)

Lesson 16b - Important Spaces.pdf

6 Pages
Unlock Document

MATH 1107
All Professors

14/10/2013 Vector  Spaces: Why are they useful? Up until now, we have only seen spaces that are “interesting”, and have disproved  many non‐useful spaces. How can we use spaces to our advantage. We will be  discussing 3 different spaces all stemming from solving our Ax=b. Given a matrix A (to which we would eventually like to solve Ax=b). We could ask the  following two questions: Which b will allow Ax=b to have a solution (be consistent)? Which vectors x will produce to the 0 vector? Range Asking the quesiton “What b could exist to have Ax=b be consistent” is called the  range of matrix A (or Range(A) ). To determine the range, we will look at a space  that is called the column space: The Column Space of a matrix A is the Span{c 1 c2, … n } where these c’s represent  hee columnnssof A. 1 3 0    For example: 2 1 0  1 4 1     0       This matrix will have a column space of:  Span    0     1 Note that we cannot reduce this span to a set of fewer vectors, (RREF(A) will have a  pivot in every column, so we cannot reduce this further), but we should always  try to find a basis for the column space (ie reduce the number of vectors (if  possible) to make the set linearly independent). 1 14/10/2013 Connect Range and Col Space Theorem: The range of a matrix A is precisely the column space of A. Proof: We know that the column space is going to be Span{c , c , … c }1wh2re thnse c’s represent the columns of A. Let us look at our definition of range: “What b could exist to have Ax=b be consistent” A x = b We proved before that we could write A x as a linear combination: x1 1+ x 2 2 x c 3 3 + x c = n n b thiis means tthatt as llong as b iis a lliinear cobiinatiion  of the columns, we have that b will be consistent to Ax=b. This means that as  long as b is in the Span{c , 1 ,2… c } n Making zero Asking the quesiton “What vectors will make Ax=0” is called the kernel of matrix A  (or Range(A) ). To determine the range, we will look at a space that is called the  null space: The Null Space of a matrix A is the set of vectors x that make Ax = 0. 1 0 0 For example:   0 1 1 0 0 0 Then solving Ax = 0 gives us x3 = s (it is free), x2 = ‐s, and x1=0. This gives us the  solution set: 0    0    0            S   |  R  |  R  Span     s   1    1        This means that any vector that is in S will produce the zero vector when we  multiply it by A. 2 14/10/2013 Strategy For Finding The Kernel & Range: Range: ‐ Row reduce the matrix of A down to RREF.  ‐ Select the columns that have pivots from our original matrix A. The span of  these would span the column space, which is equivalent to the range. ‐ This tells us which b could make Ax=b consistent Kernel: ‐ Solve the system Ax = 0.(make sure to write your solution as a span) ‐ The span offthese vecttors prduces the nullll space,hiih iis eqlatlenttofiidiing  the kernel of a matrix. ‐ This tells us which x makes Ax = 0 What About Row Space? Since we created a space that was produced by taking all the linear combinations of  the columns, what would happen if we took the space of all linear combinations  of the rows? This would be called the Row Space. Does it have a purpose? Yes, it relates to the kernel of the matrix. Theorem: Consider a matrix A and B. If both matrices have the same row space,  then both matrices will have the same Kernel. Prooff:Note that orrboth maatrcessto have the samee oww space,,both maatrces  would need to have the same number of columns, as otherwise you are  comparing vectors of different sizes that cannot be the same. 3 14/10/2013 Proof Continued Since we want to have the same kernel, we will look at the kernel of A fist.  Let Kernel(A) = {x that make Ax = 0} Ax = 0: R1x = 0, R2x = 0, … , n x =0 (where the R’s are the rows of A). This means if we take any linear combination of c 1 1 c R2 2… + c Rn nthis will be  the span of the rows of A. We also know that taking this linear combination and  multiplying it by x, will get:  c1 1x + c2 2x + … + c n n = c1R 1x) + c2R 2x)+ … ++cn(Rnxx) = 0 + 0 + 0 + … + 0 = 0 Since A and B have the same row space, this means that every row in B must be a  linear combination of the form above, this means that it will also make 0. Thus  they have the same Kernel. Strategy Concerning Row Space If we want to prove that two matrices have the same Kernel, we simply do the  following: 1. Row reduce A and B to RREF 2. As long as they have the same RREF matrix (with the exception of zero rows)  they both will have the same kernel. (And thus have the same row space as  well). If you want to find the row space of a matrix: 1. Row Reduce A to RREF 2. Any rows with a pivot will produce your row space (note that unlike column  space, you take the rows in the RREF matrix, not the original matrix). 4 14/10/2013 Example 1 Determine the Column Space of the matrix below. Be sure to write a basis for the  colu
More Less

Related notes for MATH 1107

Log In


Join OneClass

Access over 10 million pages of study
documents for 1.3 million courses.

Sign up

Join to view


By registering, I agree to the Terms and Privacy Policies
Already have an account?
Just a few more details

So we can recommend you notes for your school.

Reset Password

Please enter below the email address you registered with and we will send you a link to reset your password.

Add your courses

Get notes from the top students in your class.