MATA23H3 Lecture Notes - Lecture 23: Diagonalizable Matrix, Monic Polynomial, Matrix Coefficient
Document Summary
Let a be an (cid:1866) (cid:1866) matrix and let (cid:1868)(cid:4666)(cid:4667) be its characteristic polynomial. Let (cid:1827) be an (cid:1866) (cid:1866) matrix: det(cid:1827)= product of the eigenvalues of (cid:1827, the constant term of characteristic polynomial of (cid:1827) is det(cid:1827) (cid:1827)=[(cid:884) (cid:887)(cid:888) (cid:883)] (cid:1868)(cid:4666)(cid:4667)=(cid:2870) (cid:885) (cid:884)(cid:890)=(cid:4666) (cid:889)(cid:4667)(cid:4666)+(cid:886)(cid:4667) (cid:1842)(cid:4666)(cid:1827)(cid:4667)=(cid:1827)(cid:2870) (cid:885)(cid:1827) (cid:884)(cid:890)=[(cid:884) (cid:887)(cid:888) (cid:883)](cid:2870) (cid:885)[(cid:884) (cid:887)(cid:888) (cid:883)] (cid:884)(cid:890)[(cid:883) (cid:882)(cid:882) (cid:883)] =[(cid:885)(cid:886) (cid:883)(cid:887) (cid:883)(cid:890) (cid:885)(cid:883)]+[ (cid:888) (cid:883)(cid:887) (cid:882) (cid:1827)=[(cid:882) (cid:882) (cid:884) (cid:1868)(cid:4666)(cid:4667)= (cid:2871)+(cid:887)(cid:2870) (cid:890)+(cid:886)=(cid:4666)(cid:883) (cid:4667)(cid:4666) (cid:884)(cid:4667)(cid:2870) (cid:885)] (cid:883) (cid:884) (cid:883) (cid:883) (cid:882) (cid:1842)(cid:4666)(cid:1827)(cid:4667)= (cid:1827)(cid:2871)+(cid:887)(cid:1827)(cid:2870) (cid:890)(cid:1827)+(cid:886) (cid:883) (cid:882) (cid:885)]+(cid:886)[(cid:883) (cid:882) (cid:882) (cid:889)] (cid:890)[(cid:882) (cid:882) (cid:884) (cid:883)(cid:887)]+(cid:887)[ (cid:884) (cid:882) (cid:888) =(cid:4666) (cid:883)(cid:4667)[ (cid:888) (cid:882) (cid:883)(cid:886) (cid:882) (cid:882) (cid:883)] (cid:882) (cid:883) (cid:882) (cid:883) (cid:884) (cid:883) (cid:886) (cid:885) (cid:885) (cid:890) (cid:889) (cid:889) (cid:885) (cid:882) (cid:882) (cid:889) (cid:882) (cid:882) (cid:886)]=[(cid:882) (cid:882) (cid:882) =[(cid:888) (cid:882) (cid:883)(cid:886) (cid:882) (cid:882) (cid:882)] (cid:882) (cid:882) (cid:882) (cid:882) (cid:886) (cid:882) From the 1st example det(cid:1827)=(cid:4666)(cid:884)(cid:4667) (cid:4666)(cid:885)(cid:882)(cid:4667)= (cid:884)(cid:890)=(cid:1855)(cid:1867)(cid:1866)(cid:1872)(cid:1853)(cid:1866)(cid:1872) (cid:1872)(cid:1857)(cid:1870)(cid:1865) (cid:1866) (cid:1868)(cid:4666)(cid:4667) A (cid:1866) (cid:1866) matrix coefficient of (cid:2869) in (cid:1868)(cid:4666)(cid:4667) is (cid:1872)(cid:4666)(cid:1827)(cid:4667)
