MATA23H3 Lecture Notes - Lecture 14: Linear Map, If And Only If, Row And Column Spaces
Document Summary
To find : (cid:4666)(cid:1857) (cid:2869)(cid:4667)=[(cid:883),(cid:882),(cid:882)],(cid:4666)(cid:1857) (cid:2870)(cid:4667)=[(cid:882),(cid:884),(cid:883)],(cid:4666)(cid:1857) (cid:2871)(cid:4667)=[(cid:885),(cid:882),(cid:882)],(cid:4666)(cid:1857) (cid:2872)(cid:4667)=[(cid:882),(cid:882),(cid:884)] (cid:882) (cid:884) (cid:882) (cid:882)]~[(cid:883) (cid:882) (cid:885) (cid:882) =[(cid:883) (cid:882) (cid:885) (cid:882) (cid:882) (cid:883) (cid:882) (cid:884)]~[(cid:883) (cid:882) (cid:885) (cid:882) (cid:882) (cid:882) (cid:882) (cid:886)] (cid:884) (cid:882) (cid:883) (cid:882) (cid:882) (cid:884) (cid:882) (cid:882) (cid:882) (cid:883) (cid:882) (cid:884) (cid:1853)(cid:1866)(cid:1859)(cid:1857)(cid:4666)(cid:4667)=(cid:1871)(cid:1868)((cid:4666)(cid:1857) (cid:2869)(cid:4667),(cid:4666)(cid:1857) (cid:2870)(cid:4667),(cid:4666)(cid:1857) (cid:2871)(cid:4667),(cid:4666)(cid:1857) (cid:2872)(cid:4667))=(cid:1871)(cid:1868)(cid:4666)(cid:1855)(cid:1867)(cid:1864)(cid:1873)(cid:1865)(cid:1866)(cid:1871) (cid:1867)(cid:1858) (cid:4667) Basis for the column space (& (cid:1870)(cid:1853)(cid:1866)(cid:1859)(cid:1857)(cid:4666)(cid:4667)) is {[(cid:883)(cid:882)(cid:882)],[(cid:882)(cid:884)(cid:883)],[(cid:882)(cid:882)(cid:884)]} Since (cid:1853)(cid:1866)(cid:1859)(cid:1857)(cid:4666)(cid:4667) has basis consisting of 3 vectors and (cid:1870)(cid:1853)(cid:1866)(cid:1859)(cid:1857)(cid:4666)(cid:4667) (cid:2870) (cid:1870)(cid:1853)(cid:1866)(cid:1859)(cid:1857)(cid:4666)(cid:4667)= Find (cid:1876) (cid:2872) such that (cid:4666)(cid:1876) (cid:4667)=(cid:882) i. e. the solution (cid:1876) (cid:2872) such that (cid:1876) =(cid:882) ker(cid:4666)(cid:4667)={(cid:1876) (cid:2872)|(cid:1876) =(cid:882) } Since there is no pivot in column 3 in the echelon form of ,(cid:1876)(cid:2871)=(cid:1872) (cid:1863)(cid:1857)(cid:1866)(cid:4666)(cid:4667)=(cid:1871)(cid:1868)(cid:4666)[ (cid:885),(cid:882),(cid:883),(cid:882)](cid:4667) and a basis for ker(cid:4666)(cid:4667) is { (cid:885),(cid:882),(cid:883),(cid:882)} Let : be a linear transformation. is onto iff (cid:1870)(cid:1853)(cid:1866)(cid:1863)(cid:4666)(cid:4667)=dim (cid:4666) (cid:4667) i. e. (cid:1876) , (cid:1875) (cid:1871)(cid:1873)(cid:1855) (cid:1872) (cid:1853)(cid:1872) (cid:4666)(cid:1875) (cid:4667)=(cid:1874) is one-to-one iff ker(cid:4666)(cid:4667)={(cid:882)} i. e. t(cid:4666)(cid:1876) (cid:4667)=(cid:4666)(cid:1877) (cid:4667) (cid:1876) =(cid:1877) (cid:1876) ,(cid:1877) . In this example, the rank equation is satisfied.
