MATH-M 303 Lecture Notes - Lecture 15: Zero Element, Linear Combination, Unit Circle
Document Summary
M303 section 4. 1 notes- vector spaces and subspaces. Consider the set (cid:4666)[(cid:882),(cid:883)](cid:4667)- continuous functions on the set [0, 1] such that (cid:1858)[(cid:882),(cid:883)] . Includes functions like (cid:1858)(cid:4666)(cid:4667)=(cid:1853)+(cid:1854), (cid:1857),(cid:2870),sin,cos: can add functions by doing (cid:4666)(cid:1858)+(cid:1859)(cid:4667)(cid:4666)(cid:4667)=(cid:1858)(cid:4666)(cid:4667)+(cid:1859)(cid:4666)(cid:4667) and scalar multiply by (cid:4666)(cid:1855)(cid:1858)(cid:4667)(cid:4666)(cid:4667)=(cid:1855)(cid:1858)(cid:4666)(cid:4667); Euclidean spaces are instances of vector spaces. Let be set of infinite sequences (cid:4666)(cid:1853)(cid:2869),(cid:1853)(cid:2870),(cid:1853)(cid:2871), (cid:4667) with addition and scalar multiplication exactly as they are for : (cid:4666)(cid:1853)(cid:2869),(cid:1853)(cid:2870),(cid:1853)(cid:2871), (cid:4667)+(cid:4666)(cid:1854)(cid:2869),(cid:1854)(cid:2870),(cid:1854)(cid:2871), (cid:4667)=(cid:4666)(cid:1853)(cid:2869)+(cid:1854)(cid:2869),(cid:1853)(cid:2870)+(cid:1854)(cid:2870),(cid:1853)(cid:2871)+(cid:1854)(cid:2871), (cid:4667, (cid:1855)(cid:4666)(cid:1853)(cid:2869),(cid:1853)(cid:2870),(cid:1853)(cid:2871), (cid:4667)=(cid:4666)(cid:1855)(cid:1853)(cid:2869),(cid:1855)(cid:1853)(cid:2870),(cid:1855)(cid:1853)(cid:2871), (cid:4667, there is a linear map : defined by ((cid:4666)(cid:1853)(cid:2869),(cid:1853)(cid:2870),(cid:1853)(cid:2871), (cid:4667))=(cid:4666)(cid:882),(cid:1853)(cid:2869),(cid:1853)(cid:2870),(cid:1853)(cid:2871), (cid:4667) which we call a. Let (cid:882) be an integer and let be the set of polynomials of degree at most: general polynomial in is of form (cid:1853)(cid:1872)+(cid:1853) (cid:2869)(cid:1872) (cid:2869)+ +(cid:1853)(cid:2869)(cid:1872)+(cid:1853)(cid:2868) for (cid:1853) , let (cid:4666)(cid:1872)(cid:4667)=(cid:1872)(cid:2870), (cid:1859)(cid:4666)(cid:1872)(cid:4667)=(cid:1872)(cid:2870)+(cid:883) (cid:4666)(cid:1872)(cid:4667)+(cid:885)(cid:1859)(cid:4666)(cid:1872)(cid:4667)= (cid:1872)(cid:2870)+(cid:885)(cid:1872)(cid:2870)+(cid:885)=(cid:884)(cid:1872)(cid:2870)+(cid:885: given element in (cid:2871) determined completely by its 4 coefficients; looks similar to element of (cid:2872) Map (cid:2872) (cid:2871) sending (cid:4666)(cid:1853)(cid:2871),(cid:1853)(cid:2870),(cid:1853)(cid:2869),(cid:1853)(cid:2868)(cid:4667) (cid:1853)(cid:2871)(cid:1872)(cid:2871)+(cid:1853)(cid:2870)(cid:1872)(cid:2870)+(cid:1853)(cid:2869)(cid:1872)+(cid:1853)(cid:2868) is an isomorphism.
