MATH-M 312 Lecture 3: M312 5.4-5.5 Notes (Jan. 15)
Document Summary
M312 section 5. 4 and 5. 5 notes- mean values and triple integrals. For rectangle r with corners (cid:4666)(cid:1853),(cid:1854)(cid:4667) and (cid:4666)(cid:1855),(cid:1856)(cid:4667), (cid:1827)=(cid:1517) (cid:883) (cid:1856)(cid:1827)=(cid:1516)(cid:1516) (cid:883)(cid:3031)(cid:3029) (cid:1856)(cid:1877) (cid:3030)(cid:3028) Analogous to volume of rectangular prism r in (cid:2871): corners (cid:4666)(cid:1853),(cid:1854),(cid:1855)(cid:4667), (cid:4666)(cid:1853),(cid:1856),(cid:1857)(cid:4667), and (cid:4666)(cid:1858),(cid:1856),(cid:1855)(cid:4667, =(cid:1518) (cid:883) (cid:1856)(cid:1877) (cid:1856)(cid:1876) (cid:1856)=(cid:1516) (cid:1516) (cid:1516) (cid:883)(cid:3032)(cid:3030) (cid:1856)(cid:1878) (cid:3031)(cid:3029) (cid:3033)(cid:3028) If (cid:1858): , mean value of (cid:1858) over a line segment from (cid:1876)=(cid:1853) to (cid:1876)=(cid:1854) is (cid:2869)(cid:3029) (cid:3028)(cid:1516) (cid:1858)(cid:4666)(cid:1876)(cid:4667) (cid:3029)(cid:3028) If (cid:1858): (cid:2870) , mean value of (cid:1858) over a region r is (cid:1856)(cid:1827) (cid:3028)(cid:3045)(cid:3032)(cid:3028) (cid:3042)(cid:3033) (cid:1517) (cid:1858)(cid:4666)(cid:1876),(cid:1877)(cid:4667) (cid:2869) Suppose we have 1x3 rectangle: (cid:1856)(cid:1876) (cid:2869) (cid:3039)(cid:3032)(cid:3041)(cid:3034)(cid:3047) (cid:3042)(cid:3033) (cid:3046)(cid:3032)(cid:3034)(cid:3040)(cid:3032)(cid:3041)(cid:3047)(cid:1516) (cid:1858)(cid:4666)(cid:1876)(cid:4667) (cid:3029)(cid:3028) (cid:1856)(cid:1876)= Mean value not 1. 5 because values not evenly spaced; average weighted by area. In general, for any function (cid:1858): (cid:2870) (cid:2870) (analogous to (cid:3041)) and domain in (cid:2870) ( (cid:3041)), we can approximate mean value of (cid:1858) on : For all inside completely, approximate value of (cid:1858) in that box by value at center.
