MATH-M 312 Lecture Notes - Lecture 9: Parametric Surface, Helicoid, Rotation Matrix
Document Summary
Oriented surface- su(cid:396)face (cid:449)ith co(cid:374)sta(cid:374)t choice of a (cid:374)o(cid:396)(cid:373)al (cid:448)ecto(cid:396) di(cid:396)ectio(cid:374) (cid:894)(cid:862)i(cid:374)(cid:449)a(cid:396)d(cid:863) o(cid:396) (cid:862)out(cid:449)a(cid:396)d(cid:863)(cid:895) fo(cid:396) each poi(cid:374)t on surface; 2 orientations for any surface: ex. Can point out from center or in towards it: not every surface orientable- sometimes there is no continuous choice of normal vector. Parameterized vs. implicitly defined surfaces function whose image/range is curve- analogous for surfaces. Implicit object is solution set to 1 or more equations: recall to compute path/line integrals over curve (cid:1855), needed parameterization of (cid:1855); namely a differentiable 1-1, examples from (cid:2870): Implicit (plot all (cid:4666)(cid:1876),(cid:1877)(cid:4667) such that equation is true) [(cid:882),(cid:884)(cid:2024)(cid:4667) (cid:2870) (cid:1855)(cid:4666)(cid:1872)(cid:4667)=(cid:4666)(cid:1853)cosh(cid:1872),(cid:1854)sinh(cid:1872)(cid:4667) (cid:1855)(cid:4666)(cid:1872)(cid:4667)=((cid:1872), (cid:1853)(cid:1854) (cid:1872)+(cid:883)(cid:1854)) (cid:1855): (cid:2870) (cid:1876)(cid:2870)+(cid:1877)(cid:2870)=(cid:883) (cid:1876)(cid:2870)(cid:1853)(cid:2870)+(cid:1877)(cid:2870)(cid:1854)(cid:2870)=(cid:883) (cid:1876)(cid:2870)(cid:1853)(cid:2870) (cid:1877)(cid:2870)(cid:1854)(cid:2870)=(cid:883) (cid:1853)(cid:1876)+(cid:1854)(cid:1877)=(cid:883) Ellipse centered around origin w/ semi-axes (cid:1853) and (cid:1854) In (cid:2871), accustomed to thinking of curves parametrically and surfaces implicitly; does not have to be the case. Implicit definitions of curves in (cid:2871) (cid:1872) (cid:4666)(cid:1872),(cid:1872),(cid:1872)(cid:4667): (cid:2871) or (cid:1872) (cid:1872)(cid:4666)(cid:883),(cid:883),(cid:883)(cid:4667)
