DES102 Lecture Notes - Lecture 9: El Ejemplo, Al Punto, Positiva Records

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Geometría Analítica
Conceptos Básicos
La Geometría Analítica fue iniciada y desarrollada por el eminente matemático y filósofo
Renato Descartes. Por eso a este sistema de ejes coordenados también se le conoce
como "Sistema Cartesiano".
Geometría Analítica: sistema de ejes coordenados rectangulares.- Dos rectas que se
cortan se encuentran en un mismo plano. Si las líneas son perpendiculares entre
tenemos lo que se llama un sistema de ejes coordenados rectangulares.
En geometría, si trazamos dos rectas numéricas perpendiculares entre sí haciendo
coincidir el punto de corte con el cero común, obtenemos un sistema de ejes
coordenados rectangular.
La línea X'X se llama eje de las x o eje de las abscisas y la línea Y'Y se llama eje de las y o
eje de las ordenadas.
En geometría los ejes dividen al plano en cuatro partes llamadas cuadrantes. XOY es el
primer cuadrante, YOX' el segundo, X'OY' el tercero y Y'OX el cuarto cuadrante.
Similarmente, cualquier distancia o posición medida sobre el eje de las y de O hacia
arriba es positiva y de O hacia abajo es negativa.
La distancia de un punto al eje de las ordenadas se llama abscisa del punto y su distancia
al eje de las abscisas se llama ordenada del punto. La abscisa y la ordenada del punto
son las coordenadas cartesianas del punto. Las abscisas medidas del eje YY' hacia la
derecha son positivas y hacia la izquierda, negativas. Las ordenadas medidas del eje XX'
hacia arriba son positivas y hacia abajo son negativas.
Ubicación de un Punto por sus Coordenadas.-
Por ejemplo, ubicar el punto cuyas coordenadas son -3 y 1. Por convención el número
que se menciona primero es la abscisa y el segundo la ordenada. La notación empleada
para indicar que la abscisa es -3 y la ordenada 1 es (-3, 1).
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Como la abscisa es negativa, -3, tomamos sobre OX' de O hacia la izquierda tres veces la
unidad escogida; en -3 levantamos una perpendicular a OX' y sobre ella llevamos una
vez la unidad hacia arriba porque la ordenada es positiva, 1. El punto P es el punto (-3,
1), en el segundo cuadrante.
Distancia entre dos puntos
A partir de la ubicación de las coordenadas de dos puntos es posible calcular la distancia
entre ellos.
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x (de las abscisas) o en una recta
paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la
diferencia de sus abscisas (x2 x1).
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y (de las ordenadas) o en una
recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de
la diferencia de sus ordenadas. (y1 - y2)
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Pendiente y ángulo de inclinación de una recta
La medida del ángulo se toma en sentido contrario a las agujas del reloj.
La pendiente o tangente de un ángulo determina el ángulo de inclinación de la recta, es
lo que se llama tangente inversa:
La pendiente (GE/AE) es igual a la tangente del ángulo:
m = tan h, o lo que es lo mismo 1/tan (o tangente elevado a -1) de la pendiente es igual
al ángulo h. arco tan (de la pendiente)=ángulo
Por ejemplo, el arco cuya tangente (segmento verde) es 0,75 es de 36,87º.
El ángulo se calcula aplicando tangente inversa a la pendiente, esto quiere decir que si
tenemos por ejemplo que la pendiente de una recta vale una unidad, el arco cuya
tangente vale la unidad es de 45°.
Si tenemos por ejemplo que la pendiente de una recta es -1, esto quiere decir que la
recta tiene una inclinación hacia la izquierda y que forma con el eje x 135°.Como la
tangente en este caso es negativa, y tiene por valor -1, el ángulo de la misma va a ser -
45. Si tomo 180° y le resto 45°, obtengo el ángulo real que forma esta línea con el eje x,
que es 135°.
Para determinar la distancia entre dos puntos cualesquiera, se resta uno del otro:
Por ejemplo la distancia del punto tres al punto uno, que es igual a 3 - 1, o bien es igual
a 1 - 3, en ambos casos son dos unidades la diferencia, sin tener en cuenta el signo.
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