MAT 21D Lecture Notes - Lecture 19: Conservative Vector Field, Partial Derivative

• School: UC-Davis
• Department: Mathematics
• Course: MAT 21D
• Professor: Shiqian Ma

Document Summary

1) flow is counterclockwise, and, 2) the curve is closed. Mat 21d lecture 19 conservative fields and potential functions: flux = (cid:1866) (cid:1856)(cid:1871) where (cid:1866) is the outward normal vector. If counterclockwise, then (cid:1866) = (cid:1876) (cid:1863) and if clockwise, (cid:1866) =(cid:1863) (cid:1876) . (cid:1863) : since =(cid:3031)(cid:3045) (cid:3031)(cid:3046), then (cid:1866) = (cid:1876) (cid:1863) =(cid:4672)(cid:3031)(cid:3051)(cid:3031)(cid:3046)(cid:2835) +(cid:3031)(cid:3052)(cid:3031)(cid:3046)(cid:2836) (cid:4673)(cid:1876) (cid:1863) =|(cid:2835) (cid:2836) (cid:883)|=(cid:3031)(cid:3052)(cid:3031)(cid:3046)(cid:2835) (cid:3031)(cid:3051)(cid:3031)(cid:3046)(cid:2836) . (cid:4672)(cid:1839)(cid:3031)(cid:3052)(cid:3031)(cid:3046) (cid:1840)(cid:3031)(cid:3051)(cid:3031)(cid:3046)(cid:4673)(cid:1856)(cid:1871)= (cid:1839)(cid:1856)(cid:1877) (cid:1840)(cid:1856)(cid:1876): the notation, has two meanings, example: given =(cid:4666)(cid:1876) (cid:1877)(cid:4667)(cid:2835) +(cid:1876)(cid:2836) with the curve, c: circle (cid:1876)(cid:2870)+(cid:1877)(cid:2870)=(cid:883). If (cid:1876)=(cid:1855)(cid:1867)(cid:1871)(cid:1872) (cid:1856)(cid:1876)= (cid:1871)(cid:1866)(cid:1872)(cid:1856)(cid:1872) and if (cid:1877)=(cid:1871)(cid:1866)(cid:1872) (cid:1856)(cid:1877)=(cid:1855)(cid:1867)(cid:1871)(cid:1872)(cid:1856)(cid:1872). (cid:1855)(cid:1867)(cid:1871)(cid:1872) (cid:1855)(cid:1867)(cid:1871)(cid:1872)(cid:4666) (cid:1871)(cid:1866)(cid:1872)(cid:4667)(cid:1856)(cid:1872)= (cid:1864)(cid:1873)(cid:1876)= (cid:1839)(cid:1856)(cid:1877) (cid:1840)(cid:1856)(cid:1876)= (cid:4666)(cid:1855)(cid:1867)(cid:1871)(cid:1872) (cid:1871)(cid:1866)(cid:1872)(cid:4667) (cid:2870)(cid:2868) (cid:4667)(cid:1856)(cid:1872)= (cid:4666)(cid:2870)(cid:2868) (cid:1855)(cid:1867)(cid:1871)(cid:2870)(cid:1872) (cid:1871)(cid:1866)(cid:1872)(cid:1855)(cid:1867)(cid:1871)(cid:1872)+(cid:1871)(cid:1866)(cid:1872)(cid:1855)(cid:1867)(cid:1871)(cid:1872)(cid:4667)(cid:1856)(cid:1872)= (cid:4666)(cid:2870)(cid:2868) (cid:1855)(cid:1867)(cid:1871)(cid:2870)(cid:1872)(cid:4667)(cid:1856)(cid:1872)= (cid:4666)(cid:2870)(cid:2868) (cid:2869)+(cid:3030)(cid:3046)(cid:2870)(cid:3047) (cid:2870) (cid:4666)(cid:2869)(cid:2870)(cid:1872)+(cid:2869)(cid:2872)(cid:1871)(cid:1866)(cid:884)(cid:1872)(cid:4667)|(cid:3047)=(cid:2868)(cid:3047)=(cid:2870)=(cid:2869)(cid:2870)(cid:4666)(cid:884)(cid:4667)=: a gravitational field is defined by . The work done by to move a mass from a: definition: is a vector field. The integral (cid:1856)(cid:1870) is the same over all paths for. = =(cid:3051)(cid:2835) +(cid:3052)(cid:2836) +(cid:3053)(cid:1863) where is the potential function of : once we find , then (cid:3003)(cid:3002)