MATH 234 Lecture Notes - Lecture 35: Cross Product, Tangent Space, Surface Integral

• School: UW-Madison
• Department: Mathematics
• Course: MATH 234
• Professor: Betsy Stovall

Document Summary

(cid:1876) (cid:4666)(cid:1873),(cid:1874)(cid:4667) (cid:1878) (cid:1876) (cid:4666)(cid:4667) (cid:1877) (cid:1876) (cid:1870)(cid:1857)(cid:1853)(cid:4666)(cid:4667)= (cid:1876)(cid:3048) (cid:1876)(cid:3049) (cid:1856) (cid:1876) (cid:4666)(cid:1873),(cid:1874)(cid:4667)=(cid:4684)(cid:1876)(cid:4666)(cid:1873),(cid:1874)(cid:4667) (cid:1877)(cid:4666)(cid:1873),(cid:1874)(cid:4667) (cid:1878)(cid:4666)(cid:1873),(cid:1874)(cid:4667)(cid:4685),(cid:4666)(cid:1873),(cid:1874)(cid:4667)(cid:1488) ( (cid:1873)(cid:1876)(cid:4666)(cid:1873),(cid:1874)(cid:4667) (cid:1873)(cid:1878)(cid:4666)(cid:1873),(cid:1874)(cid:4667)) ,(cid:1876)(cid:3049) (cid:4666)(cid:1873),(cid:1874)(cid:4667)= (cid:1873)(cid:1877)(cid:4666)(cid:1873),(cid:1874)(cid:4667) (cid:1876)(cid:3048) (cid:4666)(cid:1873),(cid:1874)(cid:4667)= =[(cid:1853),(cid:1854)] [(cid:1855),(cid:1856)] (cid:1874) (cid:1856) (cid:1855) (cid:1877) (cid:1853) (cid:1873) (cid:3031) (cid:3029) (cid:1870)(cid:1857)(cid:1853)(cid:4666)(cid:4667)= (cid:1876)(cid:3048) (cid:1876)(cid:3049) (cid:1856)(cid:1874) (cid:1856)(cid:1873) (cid:3030) (cid:3028) (cid:3029) = ||(cid:1876) (cid:4666)(cid:1872)(cid:4667)||(cid:1856)(cid:1872) (cid:1857)(cid:1859)(cid:1872) (cid:4666)(cid:1855)(cid:4667)= (cid:1856)(cid:1871) (cid:3030) (cid:3028) ( (cid:1874)(cid:1876)(cid:4666)(cid:1873),(cid:1874)(cid:4667) (cid:1874)(cid:1878)(cid:4666)(cid:1873),(cid:1874)(cid:4667)) (cid:1874)(cid:1877)(cid:4666)(cid:1873),(cid:1874)(cid:4667) (cid:1878) (cid:1873) (cid:1876) (cid:3049) (cid:1877) (cid:1876) (cid:4666)(cid:1873),(cid:1874)(cid:4667) (cid:1876) (cid:1858)(cid:4666)(cid:1876),(cid:1877),(cid:1878)(cid:4667)(cid:1856)(cid:1871) (cid:3030) (cid:3028) (cid:1874) (cid:1876) (cid:3048) (cid:4666)(cid:1873)(cid:2868),(cid:1874)(cid:2868)(cid:4667) The cross product (cid:1876)(cid:3048) (cid:1876)(cid:3049) is a normal vector to the surface (cid:1871) at the point . If the surface (cid:1871) is given as zero set or the function (cid:4666)(cid:1876),(cid:1877),(cid:1878)(cid:4667): (cid:1871)={(cid:4666)(cid:1876),(cid:1877),(cid:1878)(cid:4667)|(cid:4666)(cid:1876),(cid:1877),(cid:1878)(cid:4667)=0} From this, we see that a normal vector to (cid:1871) at is. Let (cid:1871) be a surface with equation (cid:4666)(cid:1876),(cid:1877),(cid:1878)(cid:4667)=0 and parametrization (cid:1876) (cid:4666)(cid:1873),(cid:1874)(cid:4667)=(cid:4684)(cid:1876)(cid:4666)(cid:1873),(cid:1874)(cid:4667) (cid:1877)(cid:4666)(cid:1873),(cid:1874)(cid:4667) (cid:1878)(cid:4666)(cid:1873),(cid:1874)(cid:4667)(cid:4685) ||(cid:3051)(cid:3296) (cid:3051)(cid:3297) || if ||(cid:1876)(cid:3048) (cid:1876)(cid:3049) | 0 (for this < less) ((cid:1876)(cid:4666)(cid:1873),(cid:1874)(cid:4667),(cid:1877)(cid:4666)(cid:1873),(cid:1874)(cid:4667),(cid:1878)(cid:4666)(cid:1873),(cid:1874)(cid:4667))=0 for any (cid:4666)(cid:1873),(cid:1874)(cid:4667) in the domain. Chain rule: (cid:3051)(cid:1876)(cid:3048)+(cid:3052)(cid:1877)(cid:3048)+(cid:3053)(cid:1878)(cid:3048)=0 (cid:3051)(cid:1876)(cid:3049)+(cid:3052)(cid:1877)(cid:3049)+(cid:3053)(cid:1878)(cid:3049)=0 (cid:1487)=(cid:4684)(cid:3051)(cid:3052)(cid:3053)(cid:4685) (cid:1487) (cid:1876)(cid:3048) =0 (cid:1487) (cid:1876)(cid:3049) =0.