MATH 234 Lecture Notes - Lecture 36: Divergence Theorem

• School: UW-Madison
• Department: Mathematics
• Course: MATH 234
• Professor: Betsy Stovall

Document Summary

(cid:1858)(cid:4666)(cid:1876),(cid:1877),(cid:1878)(cid:4667) (cid:3020) (cid:1827)(cid:1857)(cid:1853)(cid:4666)(cid:1845)(cid:4667)= (cid:1876)(cid:3048) (cid:1876)(cid:3049) (cid:1878) (cid:1856)(cid:1827) (cid:1877) (cid:1876) (cid:4666)(cid:1872)(cid:4667) (cid:1876) If (cid:1829) is parametrized by (cid:1876) (cid:4666)(cid:1872)(cid:4667)=((cid:1876)(cid:4666)(cid:1872)(cid:4667)(cid:1877)(cid:4666)(cid:1872)(cid:4667)),(cid:1853) (cid:1872) (cid:1854) (cid:1845)=(cid:1829) [(cid:882),] (cid:1876) (cid:4666)(cid:1872), (cid:4667)=((cid:1876)(cid:4666)(cid:1872)(cid:4667)(cid:1877)(cid:4666)(cid:1872)(cid:4667) ),(cid:1853) (cid:1872) (cid:1854),(cid:882) then the cylinder is parametrized by (cid:1856)(cid:1827) = (cid:1876)(cid:3048) (cid:1876)(cid:3049) (cid:1827)(cid:1857)(cid:1853)(cid:4666)(cid:1845)(cid:4667)= (cid:1856)(cid:1845) (cid:3020) (cid:1830) (cid:1872) (cid:1853) (cid:1854) (cid:1876)(cid:3047) =((cid:1876) (cid:4666)(cid:1872)(cid:4667) (cid:1877) (cid:4666)(cid:1872)(cid:4667)(cid:882) ),(cid:1876) =((cid:882)(cid:882)(cid:883)) (cid:1876)(cid:3047) (cid:1876) =((cid:1877) (cid:4666)(cid:1872)(cid:4667) (cid:1876) (cid:4666)(cid:1872)(cid:4667)(cid:882) ) = (cid:1876) (cid:2870)(cid:4666)(cid:1872)(cid:4667)+(cid:1877) (cid:2870)(cid:4666)(cid:1872)(cid:4667)(cid:1856)(cid:1872) (cid:1864)(cid:1857)(cid:1866)(cid:1859)(cid:1872) (cid:4666)(cid:1855)(cid:4667)= (cid:1856)(cid:1845) (cid:3030) (cid:3028) (cid:1827)(cid:1857)(cid:1853)(cid:4666)(cid:1845)(cid:4667)= (cid:1864)(cid:1857)(cid:1866)(cid:1859) (cid:1872)(cid:4666)(cid:1855)(cid:4667: area of the sphere of radius (cid:1844) Points on the sphere have two parameters, two angles: , (cid:4685)(cid:1856)(cid:1872) (cid:1877) (cid:1878) (cid:1844) (cid:1876) (cid:1876) (cid:4666),(cid:4667)=((cid:1844)cossin (cid:1844)cos ) (cid:882) ,(cid:882) (cid:884) (cid:1844)sinsin (cid:1830)=[(cid:882),(cid:884)] [(cid:882),] Sin ),(cid:1876) =(cid:1844)( sinsin (cid:1876) =(cid:1844)(coscos sincos cossin (cid:882) (cid:1876) (cid:1876) =(cid:1844)(cid:2870)sin(cossin cos ) sinsin. ||=(cid:1844)(cid:2870)sin sinsin cos (cid:2870) (cid:1827)(cid:1857)(cid:1853)(cid:4666)sphere of radius (cid:1844)(cid:4667)= (cid:1844)(cid:2870)sin. Unit normal vector: (cid:1878) (cid:4678)(cid:1876)(cid:1877)(cid:1878)(cid:4679) (cid:883)(cid:1844)(cid:4678)(cid:1876)(cid:1877)(cid:1878)(cid:4679)= (cid:1877) (cid:1876) Sphere is the boundary of the ball (cid:1844) (cid:1877) (cid:1876: (cid:1874) =(cid:1829)(cid:1876) =(cid:4684)(cid:1829)(cid:3051)(cid:1829)(cid:3052)(cid:1829)(cid:3053)(cid:4685) (cid:2870) (cid:1864)(cid:1873)(cid:1876)(cid:4666)(cid:1874) (cid:4667)= (cid:1874) (cid:1856)(cid:1827)