MATH-M 344 Midterm: M344 Ch. 7 Review (Feb. 15)
Document Summary
Linear independence- for (cid:1855)(cid:2869)(cid:2778)+(cid:1855)(cid:2870)(cid:2779)+ +(cid:1855)=(cid:2777), only solution is (cid:1855)(cid:2869)=(cid:1855)(cid:2870)= =(cid:1855)=(cid:882) Eigenvalue and eigenvector of square matrix (cid:1827: (cid:1827)=, (cid:2777, is solution to det(cid:4666)(cid:1827) (cid:4667)=(cid:882) (characteristic polynomial) Algebraic multiplicity of - appears (cid:1865) times as a root of det(cid:4666)(cid:1827) (cid:4667)=(cid:882) Geometric multiplicity of - maximum number of linearly independent eigenvectors associated with eigenvalue. =(cid:4666)(cid:1872)(cid:4667), where (cid:4666)(cid:1872)(cid:4667) is (cid:1866) (cid:1866) matrix function. Seek solution of form (cid:4666)(cid:1872)(cid:4667)=(cid:1857)(cid:3047), where is an eigenvector of (cid:1827) and is its corresponding eigenvector. =(cid:1827), (cid:1827) has real-valued entries: (cid:2778)(cid:4666)(cid:1872)(cid:4667)=(cid:1857)(cid:3047) is a complex solution, (cid:2778)(cid:4666)(cid:1872)(cid:4667)=(cid:1857) ((cid:2778)(cid:4666)(cid:1872)(cid:4667))= real part of (cid:2778)(cid:4666)(cid:1872)(cid:4667, (cid:2779)(cid:4666)(cid:1872)(cid:4667)=(cid:1865) ((cid:2778)(cid:4666)(cid:1872)(cid:4667))= imaginary part of (cid:2778)(cid:4666)(cid:1872)(cid:4667) Initial value problem: (cid:4666)(cid:1872)(cid:4667)=(cid:1827)(cid:1872),(cid:4666)(cid:882)(cid:4667)=(cid:2868: seek solution of form (cid:4666)(cid:1872)(cid:4667)=(cid:2868)(cid:1857)(cid:3047)(cid:3002) Repeated eigenvalues- and corresponding eigenvector: (cid:2778)(cid:4666)(cid:1872)(cid:4667)=(cid:1857)(cid:3047, seek (cid:2779)(cid:4666)(cid:1872)(cid:4667)=(cid:1872)(cid:1857)(cid:3047)+(cid:1857)(cid:3047), where is to be determined. Matrix representation of a nonhomogeneous system: (cid:1850) (cid:4666)(cid:1872)(cid:4667)=(cid:4666)(cid:1872)(cid:4667)(cid:1850)(cid:4666)(cid:1872)(cid:4667)+(cid:4666)(cid:1872)(cid:4667: (cid:4666)(cid:1872)(cid:4667)=(cid:4666)(cid:1872)(cid:4667)(cid:4666)(cid:1872)(cid:4667), where (cid:4666)(cid:1872)(cid:4667) is a fundamental matrix of =(cid:4666)(cid:1872)(cid:4667) Integrating factor method of solving systems of equations.
