MATH 2114 Study Guide - Midterm Guide: Row And Column Spaces, Orthogonal Complement
Document Summary
Gram schmidt process and the least square error. The gram-schmidt process is another way to find an orthogonal basis. Given a set of vectors {(cid:1876)(cid:2869),(cid:1876)} in a subspace w, we can construct an orthogonal basis. The gram-schmidt process can be accomplished in a very simple set of steps: You will need to repeat this process for however many vectors you have in your original. Step 2) (cid:1874)(cid:2869)=(cid:1876)(cid:2869), and (cid:1875)(cid:2869)=(cid:1868)(cid:1853)(cid:1866){(cid:1874)(cid:2869)} (cid:1874)(cid:2870)=(cid:1876)(cid:2870) (cid:1876)(cid:2870) (cid:1874)(cid:2869) (cid:1874)(cid:2869) (cid:1874)(cid:2869)(cid:1874)(cid:2869) (cid:1874)(cid:2871)=(cid:1876)(cid:2871) (cid:4666)(cid:1876)(cid:2871) (cid:1874)(cid:2869) (cid:1874)(cid:2869) (cid:1874)(cid:2869)(cid:1874)(cid:2869)+(cid:1876)(cid:2871) (cid:1874)(cid:2870) (cid:1874)(cid:2870) (cid:1874)(cid:2870)(cid:1874)(cid:2870)(cid:4667) (cid:1874)(cid:2869) (cid:1874)(cid:2869)(cid:1874)(cid:2869)++ (cid:1876) (cid:1874) (cid:2869) (cid:1874)=(cid:1876) (cid:4666)(cid:1876) (cid:1874)(cid:2869) (cid:1874) (cid:2869) (cid:1874) (cid:2869)(cid:1874) (cid:2869)(cid:4667) So, from this process, we obtain an orthogonal basis for w: {(cid:1874)(cid:2869), { (cid:3117)||(cid:3117)||,, ||||} would be an orthonormal basis. Say you were given the following set of vectors{(cid:1876)(cid:2869),(cid:1876)(cid:2870),(cid:1876)(cid:2871)}={(cid:883)(cid:883)(cid:882),(cid:884)(cid:883)(cid:885),(cid:882)(cid:883)(cid:883)} Step 1) (cid:1874)(cid:2869)=(cid:1876)(cid:2869)= (cid:883)(cid:883)(cid:882) (cid:3117) (cid:3117)(cid:1874)(cid:2869)= (cid:884)(cid:883)(cid:885) (cid:2870)(cid:2869)(cid:2871) (cid:2869)(cid:2869)(cid:2868)(cid:2869)(cid:2869)(cid:2868) (cid:2869)(cid:2869)(cid:2868)[(cid:883)(cid:883)(cid:882)]= (cid:884)(cid:883)(cid:885) (cid:2871)(cid:2870)[(cid:883)(cid:883)(cid:882)]=[ (cid:2869)(cid:2870) (cid:2869)(cid:2870)(cid:885)] Here is an example with numerical values (cid:3118) (cid:3118)(cid:1874)(cid:2870)(cid:4673)= (cid:882)(cid:883)(cid:883) (cid:2868)(cid:2869)(cid:2869) (cid:2869)(cid:2869)(cid:2868)(cid:2869)(cid:2869)(cid:2868) (cid:2869)(cid:2869)(cid:2868)[(cid:883)(cid:883)(cid:882)] (cid:2868)(cid:2869)(cid:2869) (cid:3117)(cid:3118) (cid:3117)(cid:3118)(cid:2871)(cid:3117)(cid:3118) (cid:3117)(cid:3118)(cid:2871) (cid:3117)(cid:3118) (cid:3117)(cid:3118)(cid:2871)
