MATH-M 344 Chapter Notes - Chapter 10: Heat Equation, Partial Differential Equation, Thermal Conduction
Document Summary
M344 section 10. 5 notes- separation of variables; heat conduction in a rod (the heat equation) Initial and final temperatures: we obtain the following system: Want to study heat conduction problem for a rod of length : (cid:1873)(cid:4666),(cid:1872)(cid:4667)= temperature at at time (cid:1872) Heat equation- partial differential equation of form (cid:1873)(cid:3047)=(cid:2870)(cid:1873) (cid:4673)= (cid:3047)((cid:1873)(cid:4666),(cid:1872)(cid:4667): (cid:1873)(cid:3047)(cid:4666),(cid:1872)(cid:4667)=lim (cid:2868)(cid:4672)(cid:3048)(cid:4666),(cid:3047)+ (cid:4667) (cid:3048)(cid:4666),(cid:3047)(cid:4667, (cid:1873)(cid:4666),(cid:1872)(cid:4667)=lim(cid:3038) (cid:2868)(cid:4672)(cid:3048)(cid:4666)+(cid:3038),(cid:3047)(cid:4667) (cid:3048)(cid:4666),(cid:3047)(cid:4667) (cid:4673)= ((cid:1873)(cid:4666),(cid:1872)(cid:4667)) (cid:3038) (cid:4673)= 22((cid:1873)(cid:4666),(cid:1872)(cid:4667), (cid:1873)(cid:4666),(cid:1872)(cid:4667)=lim(cid:3038) (cid:2868)(cid:4672)(cid:3048)(cid:4666)+(cid:3038),(cid:3047)(cid:4667) (cid:3048)(cid:4666),(cid:3047)(cid:4667) (cid:3038, (cid:2870)= thermal diffusivity (known constant) Defined by (cid:2870)= (cid:3096)(cid:3046), where (cid:2018)= thermal conductivity, = density, (cid:1871)= specific heat of material. Initially we have a temperature distribution (initial condition) given by (cid:1873)(cid:4666),(cid:882)(cid:4667)=(cid:1858)(cid:4666)(cid:4667), where (cid:1858)(cid:4666)(cid:4667: boundary conditions given- assume (cid:1873)(cid:4666)(cid:882),(cid:1872)(cid:4667)=(cid:2869) and (cid:1873)(cid:4666),(cid:1872)(cid:4667)=(cid:2870) for (cid:1872)(cid:3410)(cid:882), where (cid:2869),(cid:2870) . Since heat equation linear, can do linear separation; if 2 functions (cid:1873),(cid:1874) satisfy {(cid:1873)(cid:3047)=(cid:2870)(cid:1873) (cid:1874)(cid:3047)=(cid:2870)(cid:1874) , then for any (cid:1853),(cid:1854) , we have (cid:4666)(cid:1853)(cid:1873)+(cid:1854)(cid:1874)(cid:4667)(cid:3047)=(cid:2870)(cid:4666)(cid:1853)(cid:1873)+(cid:1854)(cid:1874)(cid:4667), and (cid:1853)(cid:1873)+(cid:1854)(cid:1874) is also a solution of. For physical situations, we want unique solution.
