MATH-S 343 Chapter 3: S343 3.2 Notes (Sept. 27)
Document Summary
S343 section 3. 2 notes- solutions of linear homogeneous equations; the wronskian. Theorem 3. 2. 2- principle of superposition: consider initial value problem (cid:1877) +(cid:1868)(cid:4666)(cid:4667)(cid:1877) +(cid:1869)(cid:4666)(cid:4667)(cid:1877)=(cid:4666)(cid:4667), (cid:1877)(cid:4666)(cid:2868)(cid:4667)=(cid:1877)(cid:2868), (cid:1877) (cid:4666)(cid:2868)(cid:4667)=(cid:1877)(cid:2868) where (cid:1868),(cid:1869), continuous on open interval containing (cid:2868, this problem has exactly 1 (unique) solution (cid:1877)=(cid:4666)(cid:4667) that exists throughout. If (cid:1877)(cid:2869),(cid:1877)(cid:2870) are solutions to differential equation [(cid:1877)]=(cid:1877) +(cid:1868)(cid:4666)(cid:4667)(cid:1877) +(cid:1869)(cid:4666)(cid:4667)(cid:1877)=(cid:882), then the linear combination (cid:1855)(cid:2869)(cid:1877)(cid:2870)+(cid:1855)(cid:2870)(cid:1877)(cid:2870) is also a solution for any values of (cid:1855)(cid:2869),(cid:1855)(cid:2870: proof: substitute (cid:1877)=(cid:1855)(cid:2869)(cid:1877)(cid:2869)(cid:4666)(cid:4667)+(cid:1855)(cid:2870)(cid:1877)(cid:2870)(cid:4666)(cid:4667) into [(cid:1877)] Regardless of values of (cid:1855)(cid:2869),(cid:1855)(cid:2870), (cid:1877)=(cid:1855)(cid:2869)(cid:1877)(cid:2869)(cid:4666)(cid:4667)+(cid:1855)(cid:2870)(cid:1877)(cid:2870)(cid:4666)(cid:4667) satisfies [(cid:1877)]=(cid:1877) +(cid:1868)(cid:4666)(cid:4667)(cid:1877) +(cid:1869)(cid:4666)(cid:4667)(cid:1877)=(cid:882: using solutions (cid:1877)(cid:2869),(cid:1877)(cid:2870), we can construct infinite combinations that are solutions. Are all solutions of [(cid:1877)] included in (cid:1877)=(cid:1855)(cid:2869)(cid:1877)(cid:2869)+(cid:1855)(cid:2870)(cid:1877)(cid:2870), or could there be solutions of different forms: begin to answer this by looking at whether (cid:1855)(cid:2869),(cid:1855)(cid:2870) can be chosen to satisfy (cid:1877)(cid:4666)(cid:2868)(cid:4667)=(cid:1877)(cid:2868), (cid:1877) (cid:4666)(cid:2868)(cid:4667)=(cid:1877)(cid:2868) . System as matrix equation: [(cid:1877)(cid:2869)(cid:4666)(cid:2868)(cid:4667) (cid:1877)(cid:2870)(cid:4666)(cid:2868)(cid:4667) (cid:1877)(cid:2869) (cid:4666)(cid:2868)(cid:4667) (cid:1877)(cid:2870) (cid:4666)(cid:2868)(cid:4667)] (cid:2869)[(cid:1877)(cid:2869)(cid:1877)(cid:2870)] Determinant known as wronskian of solutions (cid:1877)(cid:2869),(cid:1877)(cid:2870): =|(cid:1877)(cid:2869)(cid:4666)(cid:2868)(cid:4667) (cid:1877)(cid:2870)(cid:4666)(cid:2868)(cid:4667) (cid:1877)(cid:2869) (cid:4666)(cid:2868)(cid:4667) (cid:1877)(cid:2870) (cid:4666)(cid:2868)(cid:4667): =(cid:1877)(cid:2869)(cid:4666)(cid:2868)(cid:4667)(cid:1877)(cid:2870) (cid:4666)(cid:2868)(cid:4667) (cid:1877)(cid:2869) (cid:4666)(cid:2868)(cid:4667)(cid:1877)(cid:2870)(cid:4666)(cid:2868)(cid:4667)
