MATA23H3 Lecture Notes - Lecture 22: Diagonalizable Matrix, Free Variables And Bound Variables
Document Summary
(cid:889) (cid:883) (cid:883) (cid:882) (cid:883) (cid:883) (cid:882) (cid:882) (cid:1867)(cid:1866)(cid:1857) (cid:1858)(cid:1870)(cid:1857)(cid:1857) (cid:1874)(cid:1853)(cid:1870)(cid:1853)(cid:1854)(cid:1864)(cid:1857) (cid:1876)(cid:2871)=(cid:1872),(cid:1876)(cid:2869)=(cid:882),(cid:1876)(cid:2870)=(cid:1872) (cid:1876) =[(cid:882)(cid:1872)(cid:1872)]=(cid:1872)[(cid:882)(cid:883)(cid:883)],(cid:1872) (cid:2872)=(cid:1871)(cid:1868)([(cid:882)(cid:883)(cid:883)]),{[(cid:882)(cid:883)(cid:883)]} (cid:1871) (cid:1854)(cid:1853)(cid:1871)(cid:1871) (cid:1858)(cid:1867)(cid:1870) (cid:2872) Not sufficient for a basis for (cid:2871) (cid:1828) is not diagonalizable (cid:1827)(from last lecture) and (cid:1828) have the characteristic polynomial not similar as (cid:1827) is diagonlizable while (cid:1828) is not (cid:1871)(cid:1865)(cid:1864)(cid:1853)(cid:1870) (cid:1865)(cid:1853)(cid:1872)(cid:1870)(cid:1855)(cid:1857)(cid:1871) (cid:1871)(cid:1853)(cid:1865)(cid:1857) (cid:1855) (cid:1853)(cid:1870)(cid:1853)(cid:1855)(cid:1872)(cid:1857)(cid:1870)(cid:1871)(cid:1872)(cid:1855) (cid:1868)(cid:1867)(cid:1864)(cid:1877) (cid:1871)(cid:1865)(cid:1864)(cid:1853)(cid:1870) (cid:1865)(cid:1853)(cid:1872)(cid:1870)(cid:1855)(cid:1857)(cid:1871) (cid:1871)(cid:1853)(cid:1865)(cid:1857) (cid:1855) (cid:1853)(cid:1870)(cid:1853)(cid:1855)(cid:1872)(cid:1857)(cid:1870)(cid:1871)(cid:1872)(cid:1855) (cid:1868)(cid:1867)(cid:1864)(cid:1877) (cid:4666)(cid:1859)(cid:1857)(cid:1867)(cid:1865)(cid:1857)(cid:1872)(cid:1870)(cid:1855) (cid:1865)(cid:1873)(cid:1864)(cid:1872)(cid:4667) (cid:4666)(cid:1853)(cid:1864)(cid:1859)(cid:1857)(cid:1854)(cid:1870)(cid:1853)(cid:1855) (cid:1865)(cid:1873)(cid:1864)(cid:1872)(cid:4667) Example (cid:884) (cid:883) (cid:1827)=[(cid:883) (cid:887)] (cid:882) (cid:883) (cid:883) (cid:886) (cid:886) (cid:2870)=(cid:1871)(cid:1868)([ (cid:884)(cid:883)(cid:886)]) =(cid:884) (cid:1853)(cid:1864)(cid:1859) (cid:1865)(cid:1873)(cid:1864)(cid:1872)=(cid:883) (cid:1859)(cid:1857)(cid:1867)(cid:1865) (cid:1865)(cid:1873)(cid:1864)(cid:1872)=(cid:883) (cid:1868)(cid:4666)(cid:4667)=(cid:4666)(cid:883) (cid:4667)(cid:4666) (cid:884)(cid:4667)(cid:4666) (cid:885)(cid:4667) (cid:1857)(cid:1859)(cid:1857)(cid:1866)(cid:1874)(cid:1853)(cid:1864)(cid:1873)(cid:1857)(cid:1871): =(cid:883),(cid:884),(cid:885) (cid:2871)=(cid:1871)(cid:1868)([ (cid:883)(cid:883)(cid:886)]) (cid:2869)=(cid:1871)(cid:1868)([ (cid:883)(cid:883)(cid:884)]) =(cid:883) (cid:1853)(cid:1864)(cid:1859) (cid:1865)(cid:1873)(cid:1864)(cid:1872)=(cid:883) (cid:1853)(cid:1864)(cid:1859) (cid:1865)(cid:1873)(cid:1864)(cid:1872)=(cid:883) (cid:1859)(cid:1857)(cid:1867)(cid:1865) (cid:1865)(cid:1873)(cid:1864)(cid:1872)=(cid:883) (cid:1859)(cid:1857)(cid:1867)(cid:1865) (cid:1865)(cid:1873)(cid:1864)(cid:1872)=(cid:883) The algebraic multiplicity of an eigenvalue of (cid:1827) is its multiplicity as a root of the. The geometric multiplicity of is the dimension of its eigenspace characteristic polynomial. Example (cid:1827)=[(cid:883) (cid:885) (cid:885) (cid:888) (cid:888) (cid:886)] (cid:885) (cid:887) (cid:885) (cid:1868)(cid:4666)(cid:4667)=(cid:4666)+(cid:884)(cid:4667)(cid:2870)(cid:4666)(cid:886) (cid:4667) This can only occur if all algebraic and geometric multiplicity agree for all eigenvalues (cid:2872)=(cid:1871)(cid:1868)([(cid:882)(cid:883)(cid:883)])
