MATA23H3 Lecture Notes - Lecture 4: Linear Combination, Dot Product, Scalar Multiplication
Document Summary
The scalar product, (cid:2019)(cid:1827), of the scalar (cid:2019) and matrix a is the matric (cid:2019)(cid:1827)=[(cid:2019)(cid:1853)(cid:3036)(cid:3037): (cid:2019)(cid:1827) is the same (cid:498)size(cid:499) as a, if (cid:1827) (cid:1839)(cid:3041),(cid:3038)(cid:4666) (cid:4667) then (cid:2019)(cid:1827) (cid:1839)(cid:3041),(cid:3038)(cid:4666) (cid:4667) (cid:1838)(cid:1857)(cid:1872) (cid:1827)=[(cid:1853)(cid:3036)(cid:3037)] (cid:1839)(cid:3041),(cid:3038)(cid:4666) (cid:4667)(cid:1853)(cid:1866)(cid:1856) (cid:1864)(cid:1857)(cid:1872)(cid:2019) . Example (cid:1864)(cid:1857)(cid:1872) (cid:1827)=[(cid:886) (cid:889)(cid:883) (cid:882)(cid:888) (cid:891)],(cid:2019)=(cid:884) (cid:2019)(cid:1827)=(cid:884)(cid:1827)=[(cid:890) (cid:883)(cid:886) (cid:883)(cid:884) (cid:883)(cid:890)] (cid:884) (cid:882) If (cid:1827),(cid:1828) (cid:1839)(cid:3041),(cid:3038)(cid:4666) (cid:4667),(cid:1827) (cid:1828)=(cid:1827)+(cid:4666) (cid:883)(cid:4667)(cid:1828) (cid:1872) (cid:1853)(cid:1872) (cid:1861)(cid:1871) (cid:1871)(cid:1873)(cid:1854)(cid:1872)(cid:1870)(cid:1853)(cid:1855)(cid:1872) (cid:1855)(cid:1867)(cid:1870)(cid:1870)(cid:1857)(cid:1871)(cid:1868)(cid:1867)(cid:1866)(cid:1856)(cid:1861)(cid:1866)(cid:1859) (cid:1855)(cid:1867)(cid:1865)(cid:1868)(cid:1867)(cid:1866)(cid:1857)(cid:1866)(cid:1872)(cid:1871: (cid:1827)+(cid:1828)=(cid:1828)+(cid:1827, (cid:4666)(cid:1827)+(cid:1828)(cid:4667)+(cid:1829)=(cid:1827)+(cid:4666)(cid:1828)+(cid:1829)(cid:4667, (cid:1827)+(cid:882)=(cid:1827)=(cid:882)+(cid:1827, (cid:2019)(cid:4666)(cid:1827)+(cid:1828)(cid:4667)=(cid:2019)(cid:1827)+(cid:2019)(cid:1828, (cid:4666)(cid:2019)+(cid:2020)(cid:4667)(cid:1827)=(cid:2019)(cid:1827)+(cid:2020)(cid:1827, (cid:4666)(cid:2019)(cid:2020)(cid:4667)(cid:1827)=(cid:2019)(cid:4666)(cid:2020)(cid:1827)(cid:4667) (cid:1827)(cid:1876) =(cid:1854) is equivalent to having a linear combination of the columns of a. Example (cid:1838)(cid:1857)(cid:1872) (cid:1827)=[(cid:886) (cid:889)(cid:883) (cid:882)(cid:888) (cid:891)],(cid:1854) =[ (cid:883)(cid:884)],(cid:1872) (cid:1857) (cid:1870)(cid:1857)(cid:1871)(cid:1873)(cid:1864)(cid:1872) (cid:1865)(cid:1853)(cid:1872)(cid:1870)(cid:1861)(cid:1876) (cid:1871) (cid:1867)(cid:1873)(cid:1864)(cid:1856) (cid:1854)(cid:1857) (cid:884) (cid:884) The ith component of (cid:1827)(cid:1854) is just the dot product of ith row of a and (cid:1854) . Notice how (cid:1827)(cid:1854) is just a dot product of a and (cid:1854) (cid:1838)(cid:1857)(cid:1872) (cid:1827)=[(cid:1853)(cid:3036)(cid:3037)] (cid:1839)(cid:3041),(cid:3038)(cid:4666) (cid:4667) (cid:1853)(cid:1866)(cid:1856) (cid:1828)=[(cid:1854)(cid:3036)(cid:3037)] (cid:1839)(cid:3038),(cid:3040)(cid:4666) (cid:4667) Example (cid:1829)=[(cid:1855)(cid:2869)(cid:2869) (cid:1710) (cid:1855)(cid:2869)(cid:3040) (cid:1709) (cid:1855)(cid:3036)(cid:3037) (cid:1709) (cid:1855)(cid:3041)(cid:3036) (cid:1710) (cid:1855)(cid:3041)(cid:3040)] (cid:1838)(cid:1857)(cid:1872) (cid:1827)=[(cid:886) (cid:889)(cid:883) (cid:882)(cid:888) (cid:891)],(cid:1828)=[ (cid:883) (cid:882) (cid:884) (cid:884)],(cid:1863)=(cid:884)
