MATA23H3 Lecture Notes - Lecture 13: Row And Column Spaces, Function Composition, Identity Matrix
Document Summary
If (cid:1846): (cid:3038) (cid:3041) were a linear transformation, there is always an (cid:1866) (cid:1863) matrix (cid:1827) such that (cid:1846)(cid:4666)(cid:1876) (cid:4667)=(cid:1827)(cid:4666)(cid:1876) (cid:4667) Let (cid:1846): (cid:3038) (cid:3041) be a linear transformation and ={(cid:1854)(cid:2869),(cid:1854)(cid:2870), ,(cid:1854)(cid:3038)} be a basis for (cid:3038). For any (cid:1874) (cid:3038), (cid:1846)(cid:4666)(cid:1874)(cid:4667) is uniquely determined by a vector (cid:1846)(cid:4666)(cid:1854)(cid:2869)(cid:4667),(cid:1872)(cid:4666)(cid:1854)(cid:2870)(cid:4667), ,(cid:1846)(cid:4666)(cid:1854)(cid:3038)(cid:4667) Let (cid:1874) (cid:3038), be a basis of (cid:3038), then there are unique scalars (cid:2869),(cid:2870), ,(cid:3038) such that (cid:3038) (cid:1874) = (cid:3036)(cid:1874) (cid:3036) (cid:3036)=(cid:2869) (cid:3038) (cid:3038) The (cid:3036) are uniquely determined by the (cid:1874) . So (cid:1846)(cid:4666)(cid:1874) (cid:4667) is uniquely determined by the (cid:1846)((cid:1854) (cid:3036)),(cid:1875) (cid:1857)(cid:1870)(cid:1857) (cid:1861)=(cid:883),(cid:884), ,(cid:1863) value for each (cid:1876) i. e. they are the same transformation. Let (cid:1846): (cid:3038) (cid:3041) by a linear transformation and let (cid:1827) (cid:1839)(cid:3041),(cid:3038)(cid:4666) (cid:4667) be the matrix whose (cid:1862)(cid:3047) column vector is (cid:1846)((cid:1857) (cid:3037)), denoted (cid:1827)=[(cid:1846)(cid:4666)(cid:1857) (cid:2869)(cid:4667)(cid:1846)(cid:4666)(cid:1857) (cid:2870)(cid:4667) (cid:1846)(cid:4666)(cid:1857) (cid:3038)(cid:4667)] and called the standard matrix representation of the linear transformation of (cid:1846)
