Lecture 9

c c¾ €c °– °– n ,f °¾ ff °f° nf ½¯°¾ x°#$f½f°¾ nn½f ° °#f¾°# f ½f€ # #f f°f °– ¯ ¾½ °¾%f°½ °–¯ ¾ n¾ ½ ½ € °–& °–ţ¾ n¾€ ½ ½ °# €n °f– °¯°ţ€ #°–# #f ţ°n f¾°½ ½f °ţ%–°°°– € n ° ¯n°¾ ff ° ¯¯ n° °° € # #f ţ– °¯°#f¾ ( ¯f°f°f %ff°n%–f°f ¯f°f°¯½ f° ( ¯°€ n °f– °¯° ° f€ #f ¾¾°n °–& °–#f¾fn °f°f ½ ¾n ° ¯n° ¾ţ€¾nfn °¾ f¾¯ ¯f°°½fn °f€ ¾n °# #f °#f ¾ţ#°# ¾½ °¾%f°¾ ½ ¾ n¾ţ– °¯°%–f° ¯½¯°° °° ° °½ n)½ ¾ *% $ ° #½ #fnf¾€ f¾¯f– °¯°f# f #n ° ¯ ½ f# f° n° ° °%# ° °° –f °f°° ¾¯° €fnfn ° ¯n ½¯°ţ¾ff#f€ ¯° € °–°€ ¯f &ţ¾n ° f°°€°n%€ ¯f &€ n¾f°¾ff#f€ ¯¾ ½°– ½ f f°°–¾– °¯°n °n f–¾¾ € ¯f &# ½ f¾¯ f°° °¯°¯f%¾ f–nf¾ f¾ °n f– ½¯°ţ½ f¾n ¾½ °¾%f° f ¯f°,f¯½¾ €¾½ n Œ ½f °€°– #f€ $f½f°¾ţc °– °–-¾½ ½f °#f¾f€¯ °ţ– # Ŧ ¯ °° f¾ °¾%°–ŦŦŦŦŦ ¾ f¾ °f¾f¯¯ff€ #f #f¾f%f%% ¯f °# ţ ½ °–½ €½fnf° ţ ° ¯¾f°# ¾ –¯f /-¾-¾ ÿ–f€ ° €#f ţn°fn #f /Ŵ/ţn ¯¯°¾ ¾°f °f¾½ ½# # °–°f f¾f€€nf € ¯f°f°¯f° €¾°½° °– & °–f°°/n ¯¯°¾# °f°½ ½€ fnfn ¯¯°¾½ n¾ţ n °€¾nff°ţ½ ¾n°–f° ¾ţffn&°–f°½ ¾n°– f¾ţ°nf¾n ° °f ¾ţnf½f¾f nf¾¾°¯¾ -¾ 1Ť¾f° °nn ¯¯°¾n °¾ f¾½ ¾ţ# f°¾€ ¯¾ nf°° fŤ¾f– ff½€ #f ţf°f¯½ ¯ °%fnf n ° ¯¾ n n ¯½#– f f°°f ¾f°¾nf¾¯f¾¾ €f¯°f°¾ ½f¾f°f° f½ ½f – ¾# ¾ ţ– ff½€ #f €ff°¾ f€ #f f° ½f f#½ f fn f ° f ° ½½%°–&% °–½ ½°¾ %,f °€, €½ ½ţ¾&¾f°nf½fţ€ ¯ °f °f¾¾ ¾ţ°nf¾ţ½f¾f°¾f° ¾ ¾# ½ nf½f% ţ°nf¾f°nf½f¾¾ţ¾%nf¯¾¾ € °– & °–¾°¾ ff ° @– °¯°°¾f° ¯¯– f °½ n&° #°f¾ n%f¾½ nţf #f° °¾ €–# nf°n ¾¾% f°¾nf½% n ° f°– %f°f f # ½ ¯¾ ¾ €f ff°%n ¯ –¾ f°– ° n¯°¾ –fţ f¾¾½ ½f °– #ţ%nf¯f½ %¯¾°nn °¾f°f ff°f,½ n¾# n ff¾–°€nf°°n f¾f°¾¾ ¾¾ nff°n ½ %¯¾ ‰% ¾°f° °#f ¾fc°nf ţf nf° ½ ¾ °¾ ( ½ n¾¾f°nf # – @ – ¾½ ţ%¾ °#f ţ¾ ½¯°° °–& °–¯ – f½n¾ # f¾ €–¾# €€ °ţ¾# f °–f°½f°° ¾f° °–& °–ţf ° ¾ © ° ¾° ¯½ f %f¾¾ f ° °–f°° °ţ# ° °–& °– ¾f f°#f¾f f°¾ °€ ¯¾ © ° ¾ n ¾ ¾ n½ ¾## Œ 1-¾ţ½ ½f °f¾f –% ° € °–& °–ţn°¾¾¾ #f ¾# % ° nf% °°1 ·½°% I ½ ¾½ ¾½ f°° ½ f,½ °nf% ¯f°¾#f¾n f% f°#f ţŴf°€–°–°#¾f¯ff°#f¾° ¾¾ , ¯½ f°#f¾ff¯½fn ° °–& °–ţ°°f °¾¯½ ¾ f¯%f – ° n°f½ °°°–¯€ ¯ f°–# ¾# f°° ½ f#f¾¾¾°f °¾ fţ # %° ° ½ ff°€ € ¾f f€ ¾n °# #f ţ°© f°n ° ¯n% ¯f°%nf¾ €¯%f – n f½¾f°¾f¾ ¾–°€nf°nf°– °nnf¾ ,¾ţ¯f°° ½ ° ¾# f €°f¾½f f#f ¯f°f°¾€ -¾ # °¾ f¾° °–& °–¾ţ ¾# ¾nf½©f½f°¾° f¾ ° €n°ff° n ½ °f°f ¾n ¯¯°¾½ n¾ţ°¾nf½f¾° °–& °–%¾ ° ½ #f¾¾ ¯°f€ nf°€ ¯¾-¾½ ½# n ¯€ ¯¾f°–f# # f –n ¯%° n ff°fn f° ¯°f¯f°€fn °–¾n @,¾ţnf° f¾¾ ¾ţ½f¾n¾f° °–¾½ n¾¾ €°¾ ff °ţf ½f°,½ ¾ f–ţ f ¾¾°f# –° f¾ f–¾ °¾¯½ ¾%¾ °f° ¾ ,½ ţ– °¯° €fn ° n f¾½ nf° –f ° ½ °€ °–– ¾€ ¯ ° °–¯f &¾ţ¾%¾f°°n f– ¯¾n½ n ¾ ¯f&– ¾f– % % –f°°n °¾¯%% ¯¾n½ ½f °)¯½ ¾%* °-# &¾°n° f ° €½ n°° €¾°–f €¾¾€ –f °¾° °–& °–f° ¾°nf #f¾°-f€ ½ # n f¯ ¾ ¾½ %¯¾ţ¾n °f°€ ¾ # &ţ½ ½f °¯¾%%–f°#f %– ¾%° °,¾f°° °–& °–f°#f¾ ¯f½ €¯½ ¾½f¾f°¾ţf% ¾# f©¾f ţ¯ ¾# ½ ţn ° f°°¾f,½ # &¾°n °–& °–#° ½ f f °f°# & € % ¾f°¾ ¾f°°¾f € f°¾½ °–– ¾ €°f¾°f °°-‰° # °–& °– f°¾¯ % ¾°f–°°€ –°¾°f °¾f°n ¯¯ °#f#f¾¾€ ¾½nf°¾#¯½ f½ € °nf €€¾ c °–& °– f°–n ¯½f°¾f ½ f°¾¾¯fn °°n °¾# ¾f¾n°f n ¯¯°¾ţf° ,¾°–°– x,½ ¾ f–# &€ # ¯f & f f° #° °–¾ ½¯°¾ţ– °¯° ¯f° ¾ €½ n¾¾ţ° °# ,½ ¾ f–f¾¾ f–ţ° ¾– f¾ –°¾ţ¾¾°f ff° ½ n¾¾ f°–f–° xn ° ¯%–f° ¯½ f°n ° ¯nf& €€ ·%f°€°¾ ff °f°# %f –¾¯½ ½fn°–° ½ ff° ¯f €½ ½#½ f # &°°– f ¯f°€fn °–°¾ ¾ţf°¾ € ¯½ ,½ %¾°¾¾¾¾ c °–& °–¯f°€fn ¾¾% ¾¯½ % ¯# f% ° ¾½ €¾ ° ½– f°–% n° –¾f°,½f°°–°%¾°¾¾f°n f°–½ n¾ €– (fţ f# €°¯f &¾°°#½fn¾ţ° f¯ nf°f°x ½f°# ¾¾#f nf½ff°&° #– n f°#¯f &¾°f€ nţn ¯¯ ° €°n °–f°¾ ¾¾f¯f ° °–& °–ţ– ¯f &¾ţ,½n% (f– ¾€ –°n ¯½f°¾# ¾ n°– ½ n °¾ ¾€fn ¾¾°n#f¾nf½ ţ # n ¾¾ţf°¾# nf fn ¾n¾f¾f° f nf °€ ¾ n°– @¾%¾°¾¾°¾f €¯f&°–°–¾f% ţ½ nn °nţ½ °°–¯f f¾f°– (f–f ¯°¾f°¾¯f ½ n¾¾ f°n°fţ%6-¾f€°¾ ff °ţ€ ¾ fn ¾# °-–ţ¾¯f¾nf€fn ¾)# &¾ ½¾*ţf¾ ¯°f°# ¯°# &°– ° ¾°–¯°¯f%¾ f–nff°¯f&½ n¾f° ¾¯°¾ n ° ¯nn ½ ° °n f–n ½¯°ţ° ¾° f ¾°€ f¾ n ff&f ½ #f¾ Ť½ ż°-¾Ŵ6-¾f€ nn½f ° °° ° °f °f f ½ f°€ ¯6-¾ţ° °f °ff ½ ° °–& °– ‰¾f¯¯ţ°1-¾ţn °f° f °ţ–¯fn °f° ¾fn°–n °f° ½ f° €fnf°# °ţ° ¾°n °f° ½ ţ€f ¯ €€n°½ f # f # °–& °–¯f°€fn ¾ ¾°f °°# &f°#°#f¾ ½ţ #f¾f –¾%f¾ ° –Ŵ½) ¯ €– ¾f° f°€* ½¾½f f¯ € f°¾½ f °°&°– # °½°°¾ff°n ¾¾f % °°°1ţ f °–fn ¾¾In ff % #f¾ °€ ţf #°–nf ¾f°f¾ ¯f°°#½%n f°¾½ f °n %f ff% , ¯f¾¾ f°¾ f#fn f°1 x,f¯½¾ #¾f°n f°€ f¾ n f# ° n°&%#