MATH-M 312 Lecture Notes - Lecture 4: Parallelogram Law, Identity Matrix, Unit Circle
Document Summary
M312 section 6. 1 notes- the geometry of maps from (cid:2870) to (cid:2870) Map/transformation- suppose (cid:1846): (cid:2870) ; for each point, outputs another point (cid:1846)(cid:4666)(cid:1876),(cid:1877)(cid:4667)=(cid:4666)(cid:1876)cos(cid:1877),(cid:1876)sin(cid:1877)(cid:4667: (cid:4666)(cid:883),(cid:4667) (cid:4666)(cid:883)cos,(cid:883)sin(cid:4667)=(cid:4666) (cid:883),(cid:882)(cid:4667) If (cid:1876)>(cid:882), distance from origin is (cid:1876: looks like polar coordinates; (cid:1846)(cid:4666)(cid:1876)(cid:2868),(cid:1877)(cid:2868)(cid:4667) is point with distance (cid:1876) from origin and angle (cid:1877) with (cid:1876)-axis, ex. If (cid:4666)(cid:1876)(cid:2868),(cid:1877)(cid:2868)(cid:4667) on (cid:1876)-axis, each point is (cid:4666)(cid:1876),(cid:882)(cid:4667). We say that (cid:1846) fixes the (cid:1876)-axis, because (cid:1846)(cid:4666)(cid:1876),(cid:882)(cid:4667)= (cid:4666)(cid:1876)cos(cid:882),(cid:1877)sin(cid:882)(cid:4667)=(cid:4666)(cid:1876),(cid:882)(cid:4667). Applying transformation, (cid:1846) maps points on (cid:1877)=(cid:2872) to line (cid:1877)=(cid:1876) because sin(cid:2872)=cos(cid:2872) while (cid:1876) varies; each point is (cid:2870)(cid:2870)(cid:4666)(cid:1876),(cid:1876)(cid:4667) with distance (cid:1876) from origin. Take the rectangle [(cid:882),(cid:882)] [(cid:883),(cid:884)] and apply (cid:1846)(cid:4666)(cid:1876),(cid:1877)(cid:4667)=(cid:4666)(cid:1876)cos(cid:1877),(cid:1876)sin(cid:1877)(cid:4667) to all points on it. What shape results: rectangle = set of all points (cid:4666)(cid:1876),(cid:1877)(cid:4667) such that (cid:882) (cid:1876) (cid:883) and (cid:882) (cid:1877) (cid:884) Is the pre-image of the unit circle (image) f(cid:396)o(cid:373) o(cid:396)igi(cid:374) is (cid:271)et(cid:449)ee(cid:374) (cid:1004) a(cid:374)d (cid:1005) a(cid:374)d (cid:449)hose a(cid:374)gle (cid:449)ith o(cid:396)igi(cid:374) is (cid:271)et(cid:449)ee(cid:374) (cid:1004) a(cid:374)d (cid:1006) .
