MATH 140 Final: MATH 140 Final Exam 2009 Fall Solutions

• School: McGill University
• Department: Mathematics and Statistics
• Course: MATH 140
• Professor: All

Document Summary

In this case vertical asymptotes occur when the denominator is equal to 0 and the numerator is not (although if they are both equal to 0 we. It should be clear that (cid:1858) is continuous away from (cid:1876)(cid:3404)(cid:3398)(cid:886)(cid:481)(cid:887). Similarly, (cid:142)(cid:139)(cid:143)(cid:3051)(cid:1372)(cid:2873)(cid:3127)(cid:1858)(cid:4666)(cid:1876)(cid:4667)(cid:3404)(cid:1858)(cid:4666)(cid:887)(cid:4667)(cid:3404)(cid:3398)(cid:891), and (cid:142)(cid:139)(cid:143)(cid:3051)(cid:1372)(cid:2873)(cid:3126)(cid:1858)(cid:4666)(cid:1876)(cid:4667)(cid:3404)(cid:142)(cid:139)(cid:143)(cid:3051)(cid:1372)(cid:2873)(cid:3126)(cid:4666)(cid:884)(cid:1876)(cid:3398)(cid:884)(cid:883)(cid:4667)(cid:3404)(cid:3398)(cid:883)(cid:883), so (cid:1858)(cid:4666)(cid:1876)(cid:4667) is not continuous at (cid:1876)(cid:3404)(cid:887) and so the answer is (b): (cid:1858)(cid:4593)(cid:4666)(cid:1876)(cid:4667)(cid:3404)(cid:887)(cid:1876)(cid:2872)(cid:142)(cid:144)(cid:1876)(cid:3397)(cid:1876)(cid:2872), so that (cid:1858)(cid:4593)(cid:4593)(cid:4666)(cid:1876)(cid:4667)(cid:3404)(cid:884)(cid:882)(cid:1876)(cid:2871)(cid:142)(cid:144)(cid:1876)(cid:3397)(cid:887)(cid:1876)(cid:2871)(cid:3397)(cid:886)(cid:1876)(cid:2871), so that(cid:1858)(cid:495)(cid:495)(cid:4666)(cid:883)(cid:4667)(cid:3404)(cid:891) and so the answer is (c). may still have asymptotes). In this case (cid:1876)(cid:2870)(cid:3397)(cid:884)(cid:1876)(cid:3398)(cid:885)(cid:3404) (cid:4666)(cid:1876)(cid:3398)(cid:883)(cid:4667)(cid:4666)(cid:1876)(cid:3397)(cid:885)(cid:4667)(cid:3404)(cid:882) when (cid:1876)(cid:3404)(cid:883)(cid:481)(cid:3398)(cid:885), and since the numerator is: by implicit differentiation, (cid:3031)(cid:3031)(cid:3051)(cid:4666)(cid:883)(cid:886)(cid:1876)(cid:3397)(cid:1877)(cid:1876)(cid:2870)(cid:3397)(cid:1877)(cid:2871)(cid:4667)(cid:3404) (cid:3031)(cid:3031)(cid:3051)(cid:4666)(cid:3398)(cid:883)(cid:888)(cid:4667)(cid:1436) (cid:883)(cid:886)(cid:3397)(cid:884)(cid:154)(cid:155)(cid:3397)(cid:1876)(cid:2870)(cid:3031)(cid:3052)(cid:3031)(cid:3051)(cid:3397)(cid:885)(cid:1877)(cid:2870)(cid:3031)(cid:3052)(cid:3031)(cid:3051)(cid:3404)(cid:882). So the answer is (c): using the definition of the derivative, (cid:1858)(cid:4593)(cid:4666)(cid:882)(cid:4667)(cid:3404)(cid:142)(cid:139)(cid:143)(cid:3035)(cid:1372)(cid:2868)(cid:3033)(cid:4666)(cid:3035)(cid:4667)(cid:2879)(cid:3033)(cid:4666)(cid:2868)(cid:4667) (cid:3404) (cid:3035) (cid:142)(cid:139)(cid:143)(cid:3035)(cid:1372)(cid:2868)(cid:4666)(cid:2929)(cid:2919)(cid:2924)(cid:3035)(cid:4667)(cid:3121)(cid:3035)(cid:3121) (cid:3404)(cid:142)(cid:139)(cid:143)(cid:3035)(cid:1372)(cid:2868)(cid:4672)(cid:2929)(cid:2919)(cid:2924)(cid:3035)(cid:3035) (cid:4673)(cid:2873)(cid:3404)(cid:4672)(cid:142)(cid:139)(cid:143)(cid:3035)(cid:1372)(cid:2868)(cid:2929)(cid:2919)(cid:2924)(cid:3035)(cid:3035) (cid:4673)(cid:2873)(cid:3404)(cid:883)(cid:2873)(cid:3404)(cid:883). Therefore by: we know, see tips and tricks, that (cid:142)(cid:139)(cid:143)(cid:3051)(cid:1372)(cid:2868)(cid:2869)(cid:2879)(cid:2913)(cid:2925)(cid:2929)(cid:3051) dividing by another (cid:1876)(cid:1372)(cid:882) means that the limit does not exist and so, see tips and tricks. To find extrema, see that (cid:1858)(cid:4593)(cid:4666)(cid:1876)(cid:4667)(cid:3404) (cid:885)(cid:133)(cid:145)(cid:149)(cid:1876)(cid:3397)(cid:884)(cid:149)(cid:139)(cid:144)(cid:1876) so setting (cid:1858)(cid:4593)(cid:4666)(cid:1876)(cid:4667)(cid:3404)(cid:882) and dividing by (cid:133)(cid:145)(cid:149)(cid:1876) gives (cid:885)(cid:3397)(cid:884)(cid:150)(cid:131)(cid:144)(cid:1876)(cid:3404)(cid:882)(cid:1436)(cid:150)(cid:131)(cid:144)(cid:1876)(cid:3404)(cid:3398)(cid:2871)(cid:2870).