MATH 152 Midterm: MATH 152 TAMU 2013c Exam 2b
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Pr✐♥t ♥❛♠❡ ✭▲❆❙❚✱ ❋✐rst✮✿ ❙❊❈❚■❖◆ ★✿
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✇♦r❦ ✐s ②♦✉r ♦✇♥ ❛♥❞ t❤❛t ②♦✉ ❤❛✈❡ ♥❡✐t❤❡r ❣✐✈❡♥ ♥♦r r❡❝❡✐✈❡❞ ❤❡❧♣ ❢r♦♠ ❛♥② ❡①t❡r♥❛❧ s♦✉r❝❡s✳
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❋♦r ②♦✉r ♦✇♥ r❡❝♦r❞s✱ ❛❧s♦ r❡❝♦r❞ ②♦✉r ❝❤♦✐❝❡s ♦♥ ②♦✉r ❡①❛♠✦ ❇❡ s✉r❡ t♦ ✇r✐t❡ ②♦✉r ♥❛♠❡✱ s❡❝t✐♦♥ ❛♥❞ ✈❡rs✐♦♥ ❧❡tt❡r
♦❢ t❤❡ ❡①❛♠ ♦♥ t❤❡ ❙❝❛♥❚r♦♥ ❢♦r♠✳ ❊❛❝❤ ♣r♦❜❧❡♠ ✐s ✇♦rt❤ ✸ ♣♦✐♥ts✳
✶✳ ❲❤✐❝❤ st❛t❡♠❡♥t ✐s tr✉❡ ❛❜♦✉t t❤❡ s❡q✉❡♥❝❡ an= ln(n2+ 1) −ln(3n2+ 1)❄
✭❛✮ ❚❤❡ s❡q✉❡♥❝❡ ❝♦♥✈❡r❣❡s t♦ ln 3✳
✭❜✮ ❚❤❡ s❡q✉❡♥❝❡ ❝♦♥✈❡r❣❡s t♦ ln 1
3✳
✭❝✮ ❚❤❡ s❡q✉❡♥❝❡ ❞✐✈❡r❣❡s✳
✭❞✮ ❚❤❡ s❡q✉❡♥❝❡ ❝♦♥✈❡r❣❡s t♦ ✵✳
✭❡✮ ◆♦♥❡ ♦❢ t❤❡ ♦t❤❡r st❛t❡♠❡♥ts ✐s tr✉❡✳
✷✳ ❲❤✐❝❤ st❛t❡♠❡♥t ✐s tr✉❡ ❛❜♦✉t t❤❡ s❡q✉❡♥❝❡ an=(−1)n(7n2)
n3+ 1 ❄
✭❛✮ ❚❤❡ s❡q✉❡♥❝❡ ❝♦♥✈❡r❣❡s t♦ 7✳
✭❜✮ ❚❤❡ s❡q✉❡♥❝❡ ❞✐✈❡r❣❡s✳
✭❝✮ ◆♦♥❡ ♦❢ t❤❡ ♦t❤❡r st❛t❡♠❡♥ts ✐s tr✉❡✳
✭❞✮ ❚❤❡ s❡q✉❡♥❝❡ ❝♦♥✈❡r❣❡s t♦ 1
7✳
✭❡✮ ❚❤❡ s❡q✉❡♥❝❡ ❝♦♥✈❡r❣❡s t♦ 0✳
✸✳ ❆ss✉♠✐♥❣ t❤❡ ✜rst t❡r♠ ✐s a1❛♥❞ t❤❛t t❤❡ ♣❛tt❡r♥ ♦❢ t❤❡ ✜rst ❢❡✇ t❡r♠s ❝♦♥t✐♥✉❡s✱ ✇❤❛t ✐s t❤❡ ❣❡♥❡r❛❧ t❡r♠ an
♦❢ t❤❡ s❡q✉❡♥❝❡ 2
3,3
5,4
7,5
9,6
11,7
13 ···❄
✭❛✮ an=1
2
✭❜✮ ◆♦♥❡ ♦❢ t❤❡s❡
✭❝✮ an=n
2n−1
✭❞✮ an=n+ 1
2n+ 1
✭❡✮ an=2
39
10n−1
✹✳ ❋✐♥❞ t❤❡ s✉♠ ♦❢ t❤❡ s❡r✐❡s 4 + 12
5+36
25 +108
125 +324
625 +···
✭❛✮ 9
✭❜✮ 10
✭❝✮ ◆♦♥❡ ♦❢ t❤❡s❡
✭❞✮ 8
✭❡✮ ❚❤❡ s❡r✐❡s ❞✐✈❡r❣❡s✳
✺✳ ❲❤✐❝❤ ♦❢ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❣✐✈❡s t❤❡ ♣❛rt✐❛❧ ❢r❛❝t✐♦♥ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ♦❢ x−2
(x−4)3(x2+ 4x+ 16)❄
✭❛✮ A
x−4+B
(x−4)2+C
(x−4)3+Dx +E
x2+ 4x+ 16
✭❜✮ A
(x−4)3+B
x4+ 4x+ 16
✭❝✮ A
x−4+Bx +C
(x−4)2+Dx2+Ex +F
(x−4)3+Gx +H
x2+ 4x+ 16
✭❞✮ ◆♦♥❡ ♦❢ t❤❡s❡
✭❡✮ Ax4+Bx3+Cx2+Dx +E
x5−8x4+ 16x3−64x2+ 512x−1024
✻✳ ●✐✈❡♥ ❛ s❡r✐❡s
∞
X
n=1
an✇❤♦s❡ ♣❛rt✐❛❧ s✉♠s ❛r❡ ❣✐✈❡♥ ❜② sn=n+ 8
n+ 2✱ ✇❤✐❝❤ st❛t❡♠❡♥t ✐s tr✉❡ ❛❜♦✉t t❤❡ s❡r✐❡s❄
✭❛✮ ❚❤❡ s❡r✐❡s ❝♦♥✈❡r❣❡s t♦ 1✳
✭❜✮ ❚❤❡ s❡r✐❡s ❝♦♥✈❡r❣❡s t♦ 4✳
✭❝✮ ❚❤❡ s❡r✐❡s ❝♦♥✈❡r❣❡s t♦ 3✳
✭❞✮ ❚❤❡ s❡r✐❡s ❞✐✈❡r❣❡s✳
✭❡✮ ◆♦♥❡ ♦❢ t❤❡ ♦t❤❡r st❛t❡♠❡♥ts ✐s tr✉❡✳
✼✳ ●✐✈❡♥ t❤❡ s❡r✐❡s ✐♥ ★✻✱ ✇❤✐❝❤ st❛t❡♠❡♥t ✐s tr✉❡ ❛❜♦✉t t❤❡ ❚❊❘▼❙ ♦❢ t❤❡ s❡r✐❡s ✭an✮❄
✭❛✮ ◆♦♥❡ ♦❢ t❤❡ ♦t❤❡r st❛t❡♠❡♥ts ✐s tr✉❡✳
✭❜✮ an❝♦♥✈❡r❣❡s t♦ 4✳
✭❝✮ an❝♦♥✈❡r❣❡s t♦ 0✳
✭❞✮ an❝♦♥✈❡r❣❡s t♦ 1✳
✭❡✮ an❞✐✈❡r❣❡s✳
✽✳ ❊✈❛❧✉❛t❡ ˆ∞
0
4xe−x2dx✳
✭❛✮ ◆♦♥❡ ♦❢ t❤❡s❡
✭❜✮ 2
✭❝✮ −2
✭❞✮ 0
✭❡✮ ❚❤❡ ✐♠♣r♦♣❡r ✐♥t❡❣r❛❧ ❞✐✈❡r❣❡s
✾✳ ❲❤✐❝❤ st❛t❡♠❡♥t ✐s tr✉❡ ❛❜♦✉t t❤❡ s❡q✉❡♥❝❡ ❞❡✜♥❡❞ ❜② a1= 4, an+1 =an
an−1❄
✭❛✮ ❚❤❡ s❡q✉❡♥❝❡ ❝♦♥✈❡r❣❡s t♦ 0✳
✭❜✮ ◆♦♥❡ ♦❢ t❤❡ ♦t❤❡r st❛t❡♠❡♥ts ✐s tr✉❡✳
✭❝✮ ❚❤❡ s❡q✉❡♥❝❡ ❝♦♥✈❡r❣❡s t♦ 1✳
✭❞✮ ❚❤❡ s❡q✉❡♥❝❡ ❞✐✈❡r❣❡s✳
✭❡✮ ❚❤❡ s❡q✉❡♥❝❡ ❝♦♥✈❡r❣❡s t♦ 2✳
✶✵✳ ❲❤✐❝❤ st❛t❡♠❡♥t ✐s tr✉❡ ❛❜♦✉t ˆ3
0
1
4x−2dx❄
✭❛✮ ❚❤❡ ✐♥t❡❣r❛❧ ❞✐✈❡r❣❡s✳
✭❜✮ ❚❤❡ ✐♥t❡❣r❛❧ ❝♦♥✈❡r❣❡s t♦ ln 10 −ln 2✳
✭❝✮ ❚❤❡ ✐♥t❡❣r❛❧ ❝♦♥✈❡r❣❡s t♦ 1
10 +1
2✳
✭❞✮ ◆♦♥❡ ♦❢ t❤❡ ♦t❤❡r st❛t❡♠❡♥ts ✐s tr✉❡✳
✭❡✮ ❚❤❡ ✐♥t❡❣r❛❧ ❝♦♥✈❡r❣❡s t♦ 1
4(ln 10 −ln 2)✳
✶✶✳ ❲❤✐❝❤ ♦❢ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ✐s ❛♥ ❛♣♣r♦♣r✐❛t❡ s✉❜st✐t✉t✐♦♥ t♦ ❡✈❛❧✉❛t❡ ˆ1
√x2−8x+ 32 dx ❄
✭❛✮ x−8 = √32 sec θ
✭❜✮ x−8 = 32 sec θ
✭❝✮ x−4 = 16 tan θ
✭❞✮ x−4 = 4 tan θ
✭❡✮ ◆♦♥❡ ♦❢ t❤❡s❡
✶✷✳ ❋✐♥❞ t❤❡ s✉♠ ♦❢
∞
X
n=1 e1/n −e1/(n+1)✳
✭❛✮ e2
e−1
✭❜✮ ❚❤❡ s❡r✐❡s ❞✐✈❡r❣❡s✳
✭❝✮ e
✭❞✮ e−1
✭❡✮ ◆♦♥❡ ♦❢ t❤❡s❡
Document Summary
St t t s tr t t s q an = ln(n2 + 1) ln(3n2 + 1) . St t t s tr t t s q an = ( 1)n(7n2) n3 + 1. Dx + e x2 + 4x + 16. Dx2 + ex + f (x 4)3. Gx + h x2 + 4x + 16. Ax4 + bx3 + cx2 + dx + e x5 8x4 + 16x3 64x2 + 512x 1024. Xn=1 an s rt s s r sn = n + 8 n + 2. T s r s st t t s tr t t t s r s an . St t t s tr t t s q a1 = 4, an+1 = an an 1. T r r s t ln 10 ln 2 . X 8 = 32 sec . X2 8x + 32 dx e2 e 1.
