MATH 234 Lecture Notes - Lecture 31: Conservative Vector Field, Unit Circle, Curve

• School: UW-Madison
• Department: Mathematics
• Course: MATH 234
• Professor: Betsy Stovall

Document Summary

= (cid:1876) (cid:4666)(cid:4667) (cid:3028) z x b x a x y. Examples: (cid:884)(cid:1830) example: let (cid:1829) be a unit circle (cid:4666)(cid:1876),(cid:1877)(cid:4667)=((cid:1876)(cid:1877)) =(cid:882) y x: (cid:884)(cid:1830) example: (cid:1876) (cid:4666)(cid:4667)=( sin cos)=(cid:4672) (cid:1877)(cid:1876)(cid:4673) =(cid:883),(cid:884),(cid:885) (cid:3117) for any line segment we use parametrization. In our case (cid:1853) =((cid:882)(cid:882))=((cid:883)(cid:883)) (cid:1876) (cid:4666)(cid:882)(cid:4667)=((cid:882)(cid:882)), (cid:1876) (cid:4666)(cid:4667)=((cid:882)(cid:882))+((cid:883)(cid:883))=(), (cid:1853)=(cid:882) (cid:1876) (cid:4666)(cid:1854)(cid:4667)=((cid:883)(cid:883)), (cid:1876) (cid:4666)(cid:4667)=(), (cid:1854)=(cid:883), (cid:882) (cid:883) = (cid:882)(cid:2869) (cid:2869) (cid:2869) (cid:2868) =(cid:882) (cid:2868) (cid:2868) (cid:3117) (cid:4666)(cid:1876),(cid:1877)(cid:4667)=( (cid:3052)(cid:3051)), (cid:3118) In general if (cid:1829)is a part of paragraph (cid:1877)=(cid:4666)(cid:1876)(cid:4667) y f x a b (cid:1876) (cid:4666)(cid:4667)=( (cid:4666)(cid:4667)), (cid:1853) (cid:1854) (cid:1876) (cid:4666)(cid:4667)=((cid:2870)), (cid:882) (cid:883) (cid:1876) (cid:4666)(cid:4667)=((cid:883)(cid:884)) (cid:3118) (cid:2868) (cid:2868) (cid:2869)=(cid:883)(cid:885) (cid:2871)(cid:885)|(cid:2868) (cid:1876) (cid:3117) (cid:1876)=(cid:883)(cid:885) (cid:882)=(cid:883)(cid:885) (cid:3119) If (cid:4666)(cid:1876)(cid:4667) is a function of one variable (cid:4666)(cid:1854)(cid:4667) (cid:4666)(cid:1853)(cid:4667)= (cid:4666)(cid:1876)(cid:4667) We generalize this formula to the case of line integrals (cid:3029) (cid:3028) z. (cid:1876) =(cid:4666)(cid:1828)(cid:4667) (cid:4666)(cid:1827)(cid:4667) (cid:2025): = =(cid:4684)(cid:1876)(cid:4666)(cid:1876),(cid:1877),(cid:1878)(cid:4667) (cid:1878)(cid:4666)(cid:1876),(cid:1877),(cid:1878)(cid:4667)(cid:4685) (cid:4684)(cid:1876)(cid:1877)(cid:1878)(cid:4685) ((cid:1876)(cid:1877)(cid:1878))= (cid:1877)(cid:4666)(cid:1876),(cid:1877),(cid:1878)(cid:4667) (cid:1876)+(cid:1877) (cid:1877)+(cid:1878) (cid:1878)=(cid:4666) (cid:4667) =((cid:1876)(cid:4666)(cid:1854)(cid:4667),(cid:1877)(cid:4666)(cid:1854)(cid:4667),(cid:1878)(cid:4666)(cid:1854)(cid:4667): (cid:1827)=(cid:1828) or in other words curve (is closed) ((cid:1876)(cid:4666)(cid:1853)(cid:4667),(cid:1877)(cid:4666)(cid:1853)(cid:4667),(cid:1878)(cid:4666)(cid:1853)(cid:4667))=(cid:4666)(cid:1828)(cid:4667) (cid:4666)(cid:1827)(cid:4667)