MATH 105 Lecture Notes - Lecture 2: Digital Video Broadcasting, Jeton, Dune

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09โ€10๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒExercices๎€ƒ๎€ƒprobabilities๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒAmorri๎€ƒmongi๎€ƒ
Exercice๎€ƒnยฐ1๎€ƒ:๎€ƒ
Dans๎€ƒles๎€ƒquestions๎€ƒ1)๎€ƒ,๎€ƒ2)๎€ƒet๎€ƒ3)๎€ƒ,donner๎€ƒla๎€ƒbonne๎€ƒrรฉponse๎€ƒ
1โ€A๎€ƒet๎€ƒB๎€ƒsont๎€ƒdeux๎€ƒรฉvรจnements๎€ƒindรฉpendants๎€ƒtels๎€ƒque๎€ƒp(A)๎€ƒ=๎€ƒ0,2๎€ƒet๎€ƒp(B)๎€ƒ=๎€ƒ0.3๎€ƒ.๎€ƒ
P(A๎—ซB)๎€ƒ=๎€ƒ
aโ€ 0,06๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒbโ€๎€ƒ0,44๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒcโ€๎€ƒ0,5๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒdโ€๎€ƒ0,56๎€ƒ
2โ€Une๎€ƒvariable๎€ƒalรฉatoire๎€ƒX๎€ƒsuit๎€ƒune๎€ƒloi๎€ƒbinomiale๎€ƒde๎€ƒparamรจtre๎€ƒ3๎€ƒet๎€ƒ1
3.La๎€ƒprobabilitรฉ๎€ƒde๎€ƒlโ€™รฉvรจnement๎€ƒX๎ต2๎€ƒ
est๎€ƒ:๎€ƒaโ€๎€ƒ
3
1
3
โŽ›โŽž
โŽœโŽŸ
โŽโŽ 
๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒbโ€๎€ƒ
3
2
3
โŽ›โŽž
โŽœโŽŸ
โŽโŽ 
๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒcโ€
2
2
3
12
33
CโŽ›โŽžโŽ›โŽž
โŽœโŽŸโŽœโŽŸ
โŽโŽ โŽโŽ 
๎€ƒ
3โ€๎€ƒLa๎€ƒdurรฉe๎€ƒde๎€ƒvie,๎€ƒexprimรฉe๎€ƒen๎€ƒannรฉes,๎€ƒdโ€™un๎€ƒappareil๎€ƒest๎€ƒmodรฉlisรฉe๎€ƒpar๎€ƒune๎€ƒvariable๎€ƒalรฉatoire๎€ƒX๎€ƒqui๎€ƒsuit๎€ƒla๎€ƒ
loi๎€ƒexponentielle๎€ƒde๎€ƒparamรจtre๎€ƒ0,07
ฮป
=๎€ƒsur๎€ƒ
[
[
0;
+
โˆž.๎€ƒ
aโ€ La๎€ƒprobabilitรฉ๎€ƒque๎€ƒlโ€™appareil๎€ƒait๎€ƒune๎€ƒdurรฉe๎€ƒde๎€ƒvie๎€ƒsupรฉrieure๎€ƒร ๎€ƒ10๎€ƒans๎€ƒest๎€ƒรฉgale๎€ƒร ๎€ƒ0,5๎€ƒร ๎€ƒ10โˆ’2๎€ƒprรจs.๎€ƒ
bโ€ Sachant๎€ƒque๎€ƒlโ€™appareil๎€ƒa๎€ƒfonctionnรฉ๎€ƒ10๎€ƒans,๎€ƒla๎€ƒprobabilitรฉ๎€ƒquโ€™il๎€ƒfonctionne๎€ƒencore๎€ƒ10๎€ƒans๎€ƒest๎€ƒรฉgale๎€ƒร ๎€ƒ
0,5๎€ƒร ๎€ƒ10โˆ’2๎€ƒprรจs.๎€ƒ
๎€ƒ
Exercice๎€ƒnยฐ2๎€ƒ:๎€ƒ
Dans๎€ƒune๎€ƒboite๎€ƒ,un๎€ƒtiers๎€ƒdes๎€ƒboules๎€ƒsont๎€ƒblanches๎€ƒet๎€ƒdeux๎€ƒtiers๎€ƒsont๎€ƒnoires๎€ƒ.Parmi๎€ƒles๎€ƒboules๎€ƒblanches๎€ƒ๎€ƒ25%๎€ƒ
sont๎€ƒnumรฉrotรฉes๎€ƒ1๎€ƒet๎€ƒparmi๎€ƒles๎€ƒboules๎€ƒnoires๎€ƒ50%๎€ƒsont๎€ƒnumรฉrotรฉes๎€ƒ1๎€ƒ.๎€ƒOn๎€ƒchoisie๎€ƒune๎€ƒboule๎€ƒau๎€ƒ๎€ƒhasard๎€ƒet๎€ƒ
ont๎€ƒsuppose๎€ƒque๎€ƒtoutes๎€ƒles๎€ƒboules๎€ƒont๎€ƒla๎€ƒmรชme๎€ƒprobabilitรฉ๎€ƒdโ€™รชtre๎€ƒtirรฉes๎€ƒ๎€ƒ
Soient๎€ƒles๎€ƒรฉvรจnements๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒE๎€ƒ:๎˜งLa๎€ƒboule๎€ƒest๎€ƒnumรฉrotรฉe๎€ƒ1๎˜จ๎€ƒ;B๎€ƒ:๎˜งLa๎€ƒboule๎€ƒest๎€ƒblanche๎€ƒ๎˜จ๎€ƒ;๎€ƒN๎˜งLa๎€ƒboule๎€ƒest๎€ƒ
noire๎€ƒ๎˜จ๎€ƒ
๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ
1โ€A๎€ƒlโ€™aide๎€ƒdโ€™un๎€ƒarbre๎€ƒpondรฉrรฉ๎€ƒdรฉterminer๎€ƒles๎€ƒprobabilitรฉs๎€ƒsuivantes๎€ƒ:p(B)๎€ƒ,๎€ƒp(N)๎€ƒp(E/B)๎€ƒet๎€ƒp(E/N)๎€ƒ
2โ€aโ€Montrer๎€ƒque๎€ƒp(E)= 5
12 ๎€ƒ
bโ€La๎€ƒprobabilitรฉ๎€ƒpour๎€ƒque๎€ƒla๎€ƒboule๎€ƒtirรฉe๎€ƒsoit๎€ƒblanche๎€ƒsachant๎€ƒquโ€™elle๎€ƒest๎€ƒnumรฉrotรฉe1๎€ƒ
3โ€On๎€ƒtire๎€ƒsuccessivement๎€ƒet๎€ƒavec๎€ƒremise๎€ƒ5๎€ƒboules๎€ƒde๎€ƒla๎€ƒboite๎€ƒ.Soit๎€ƒX๎€ƒla๎€ƒvariable๎€ƒalรฉatoire๎€ƒprenant๎€ƒpour๎€ƒ
valeur๎€ƒle๎€ƒnombre๎€ƒde๎€ƒboule๎€ƒnumรฉrotรฉes๎€ƒun๎€ƒobtenus.๎€ƒDรฉterminer๎€ƒla๎€ƒloi๎€ƒde๎€ƒprobabilitรฉ๎€ƒde๎€ƒX๎€ƒet๎€ƒcalculer๎€ƒ๎€ƒ
E๎€ƒ(X)๎€ƒet๎€ƒV(X)๎€ƒ
Exercice๎€ƒnยฐ3๎€ƒ:๎€ƒ
๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒUn๎€ƒsac๎€ƒcontient๎€ƒ3๎€ƒjetons๎€ƒrouges๎€ƒnumรฉrotes๎€ƒ1,1,2๎€ƒet๎€ƒ4๎€ƒjetons๎€ƒnoirs๎€ƒnumรฉrotes๎€ƒ0,1,2,3๎€ƒ.๎€ƒ
Une๎€ƒรฉpreuve๎€ƒconsiste๎€ƒร ๎€ƒtirer๎€ƒau๎€ƒhasard๎€ƒ3๎€ƒjetons๎€ƒsimultanรฉment๎€ƒdu๎€ƒsac๎€ƒ;๎€ƒsoient๎€ƒA๎€ƒet๎€ƒB๎€ƒles๎€ƒรฉvรฉnements๎€ƒ
suivant๎€ƒ:๎€ƒ
๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒA๎€ƒ:๎€ƒ๎€“๎€ƒobtenir๎€ƒ3๎€ƒjetons๎€ƒde๎€ƒmรชme๎€ƒcouleurs๎€ƒ๎€•๎€ƒ
๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒB๎€ƒ:๎€ƒ๎€“la๎€ƒsomme๎€ƒdes๎€ƒnumรฉros๎€ƒsur๎€ƒles๎€ƒtrois๎€ƒjetons๎€ƒtires๎€ƒest๎€ƒรฉgale๎€ƒร ๎€ƒ3๎€•๎€ƒ
1)๎€ƒa)๎€ƒCalculer๎€ƒp(A)๎€ƒ
๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒb)Montrer๎€ƒque๎€ƒp(B)=๎€ƒ1
5๎€ƒ
๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒc)๎€ƒSachant๎€ƒque๎€ƒla๎€ƒsomme๎€ƒdes๎€ƒnumรฉros๎€ƒest๎€ƒ3,calculer๎€ƒla๎€ƒprobabilitรฉ๎€ƒdโ€™obtenir๎€ƒ3๎€ƒjetons๎€ƒde๎€ƒmรชme๎€ƒcouleur๎€ƒ๎€ƒ
2)๎€ƒSoit๎€ƒX๎€ƒlโ€™alea๎€ƒnumรฉrique๎€ƒqui๎€ƒa๎€ƒchaque๎€ƒรฉpreuve๎€ƒassocie๎€ƒle๎€ƒnombre๎€ƒde๎€ƒjetons๎€ƒrouges๎€ƒobtenus๎€ƒ
๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒa)๎€ƒDรฉterminer๎€ƒla๎€ƒloi๎€ƒde๎€ƒprobabilitรฉ๎€ƒde๎€ƒX๎€ƒ
๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒb)๎€ƒCalculer๎€ƒlโ€™espรฉrance๎€ƒmathรฉmatique๎€ƒ,la๎€ƒvariance๎€ƒet๎€ƒlโ€™รฉcart๎€ƒ_type๎€ƒde๎€ƒX๎€ƒ
3)On๎€ƒrรฉpรจte๎€ƒlโ€™รฉpreuve๎€ƒn๎€ƒfois๎€ƒde๎€ƒsuites๎€ƒen๎€ƒremettant๎€ƒร ๎€ƒchaque๎€ƒfois๎€ƒles๎€ƒjetons๎€ƒtires๎€ƒdans๎€ƒlโ€™urne๎€ƒ๎€ƒ
๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒa)Quelle๎€ƒest๎€ƒla๎€ƒprobabilitรฉ๎€ƒpnde๎€ƒrรฉaliser๎€ƒlโ€™รฉvรฉnement๎€ƒB๎€ƒau๎€ƒmoins๎€ƒune๎€ƒfois๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒ
๎€ƒ๎€ƒ๎€ƒb)Dรฉterminer๎€ƒle๎€ƒplus๎€ƒpetit๎€ƒentier๎€ƒn๎€ƒpour๎€ƒlequel๎€ƒpn๎€ƒ3
4
โ‰ฅ๎€ƒ
๎€ƒ
๎€ƒ
๎€ƒ
๎€ƒ
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