MAT 21D Lecture Notes - Lecture 16: 2D Computer Graphics, Mathematical Notation, Dot Product

• School: UC-Davis
• Department: Mathematics
• Course: MAT 21D
• Professor: Shiqian Ma

Document Summary

Mathematical: the vector field in 3d space is represented by (cid:4666)(cid:1876),(cid:1877),(cid:1878)(cid:4667)=(cid:1839)(cid:4666)(cid:1876),(cid:1877),(cid:1878)(cid:4667)(cid:2835) + (cid:1840)(cid:4666)(cid:1876),(cid:1877),(cid:1878)(cid:4667)(cid:2836) +(cid:4666)(cid:1876),(cid:1877),(cid:1878)(cid:4667) . In 2d space, the vector field is represented by. (cid:4666)(cid:1876),(cid:1877)(cid:4667)=(cid:1839)(cid:4666)(cid:1876),(cid:1877)(cid:4667)(cid:2835) +(cid:1840)(cid:4666)(cid:1876),(cid:1877)(cid:4667)(cid:2836) . notation: (cid:1858)=(cid:3051)(cid:2835) +(cid:3052)(cid:2836) +(cid:3053) : example: find the gradient field of the function, (cid:1858)(cid:4666)(cid:1876),(cid:1877),(cid:1878)(cid:4667)=(cid:1876)(cid:2870)+(cid:1877)+sin (cid:4666)(cid:1878)(cid:4667). (cid:4666)(cid:1872)(cid:4667)(cid:2836) +(cid:4666)(cid:1872)(cid:4667) , (cid:1853) (cid:1872) (cid:1854: 1) express as (cid:4666)(cid:1870) (cid:4666)(cid:1872)(cid:4667)(cid:4667) by substituting (cid:1876)=(cid:1859)(cid:4666)(cid:1872)(cid:4667),(cid:1877)= (cid:4666)(cid:1872)(cid:4667), and (cid:1878)=(cid:4666)(cid:1872)(cid:4667), 2) find (cid:3045) (cid:3047, 3) compute (cid:1856)(cid:1870) = (cid:4666) (cid:4666)(cid:1870) (cid:4666)(cid:1872)(cid:4667)(cid:4667) (cid:3045) (cid:3047)(cid:4667)(cid:1856)(cid:1872, example: evaluate (cid:1856)(cid:1870) with (cid:4666)(cid:1876),(cid:1877),(cid:1878)(cid:4667)=(cid:1878)(cid:2835) +(cid:1876)(cid:1877)(cid:2836) (cid:1877)(cid:2870) along :(cid:1870) (cid:4666)(cid:1872)(cid:4667)= (cid:1872)(cid:2870)(cid:2835) +(cid:1872)(cid:2836) + (cid:1872) , (cid:882) (cid:1872) (cid:883). Based on the information from (cid:1870) (cid:4666)(cid:1872)(cid:4667), we see that (cid:1876)=(cid:1872)(cid:2870),(cid:1877)=(cid:1872),(cid:1878)= (cid:1872). Take the dot product of ((cid:1870) (cid:4666)(cid:1872)(cid:4667)) and (cid:3045) (cid:3047), ((cid:1870) (cid:4666)(cid:1872)(cid:4667)) (cid:3045) (cid:3047)= ( (cid:1872) (cid:884)(cid:1872))+(cid:4666)(cid:1872)(cid:2871) (cid:883)(cid:4667)(cid:2836) +(cid:4672) (cid:2869)(cid:2870) (cid:3047) (cid:1872)(cid:2870)(cid:4673)=(cid:884)(cid:1872)(cid:3119)(cid:3118)+(cid:1872)(cid:2871) (cid:2869)(cid:2870)(cid:1872)(cid:3119)(cid:3118)=(cid:2871)(cid:2870)(cid:1872)(cid:3119)(cid:3118)+(cid:1872)(cid:2871). =(cid:2871)(cid:2870)(cid:4666)(cid:2870)(cid:2873)(cid:1872)5(cid:3118)(cid:4667)+(cid:2869)(cid:2872)(cid:1872)(cid:2872)|(cid:3047)=(cid:2868)(cid:3047)=(cid:2869)=(cid:2871)(cid:2873)+(cid:2869)(cid:2872)=(cid:2869)7(cid:2870)(cid:2868): there are also line integrals with respect to (cid:1856)(cid:1876),(cid:1856)(cid:1877),(cid:1867)(cid:1870) (cid:1856)(cid:1878). (cid:1839)(cid:4666)(cid:1876),(cid:1877),(cid:1878)(cid:4667)(cid:1856)(cid:1876) with the curve, c in the form of (cid:1870) (cid:4666)(cid:1872)(cid:4667)=(cid:1859)(cid:4666)(cid:1872)(cid:4667)(cid:2835) + (cid:4666)(cid:1872)(cid:4667)(cid:2836) +(cid:4666)(cid:1872)(cid:4667) : we can specify a vector field: =(cid:1839)(cid:4666)(cid:1876),(cid:1877),(cid:1878)(cid:4667)(cid:2835) .