Textbook Notes (363,460)
Canada (158,372)
York University (12,359)
Marketing (116)
MKTG 2030 (84)
Ben Kelly (18)

linear programming.doc

30 Pages
Unlock Document

York University
MKTG 2030
Ben Kelly

Linear Programming Linear Programming is actually one of the most useful topics in math because it is a simple  model for problems with limited resources.  Many large companies, even the military, use linear  programming to solve problems such as finding maximum profits when given certain restrictions on  different variables. There are 5 main steps to solving a Linear Programming problem: 1) Place all of the necessary information into a neat and organized table . 2)  Find out what has to be maximized or minimized, and in most cases it is the profit or cost.  Then, write the profit/cost equation. 3)  Find the variables of the problem and what parts can be controlled. These equations will  be known as the constraints. Depending on the problem there can be many or very few  constraints. 4) Once the constraints have been established, plot them on a graph to find the vertices of  the linear function. 5) After the graph is drawn, the vertices of the graph will tell you the maximum or minimum of  the system by plugging them into the profit/cost equation. Now lets try this problem together. A magazine company sells two main types of magazines: Healthwise sells for $12 and  Superteen sells for $10. It costs the company $9 to produce Healthwise and $8 to produce  Superteen. In one week the publishing company can print 200 – 300 copies of Healthwise and from  100 – 250 copies of Superteen, but no more than 500 copies in total. How many of each type  should be printed in order for the company to make maximum profit. The first step is to make a chart to make everything neat and organized. This step is used  to make things easier for you to understand. Magazine Sales Amount Production Costs Number of Printable  Copies Healthwise        $12             $9      200 – 300 Superteen        $10             $8      100 – 250 Now that the information is organized we can find the profit equation:  X= Healthwise             Y = Superteen The Profit equation will be P = the Profit X makes + the Profit Y makes Since production costs for Healthwise is $9, we have to subtract it from the Sales amount, which is  $12. So      $12 ­ $9 = $3    The production costs for Superteen are $8 and the price is $10 so the profit will be the two  subtracted. So       $10 ­ $8 = $2 The Profit Equation will be P  = 3x + 2y  Now we have to find the constraints. These constraints will explain how to draw the graph. The constraints will be:    x + y ≤ 500   This constraint means that the number of Healthwise magazine (x) plus the number  of                                     Superteen magazines (y) is less than or equal to 500, because all  together it said in the problem that no more than 500 copies can be made in one week. Therefore x  + y has to be less than or equal to 500 200 ≤ x ≤ 300   This constraint explains that only 200 – 300 copies of Healthwise can be printed  during one week 100  ≤ y ≤ 250     The last constraint shows the amount of copies that Superteen can make  within a week. To find out how to graph the line x + y ≤ 500, you have to give x a number to solve for y. X + y = 500       Lets make x = 100         100 + y = 500          y = 500 – 100               y= 400          So the co­ordinates are (100, 400)  Lets get another set of values to draw the line correctly, but this time, lets plug in for y.             x + y = 500         Lets make y = 200          x + 200 = 500          x = 500 – 200              x = 300      So the co­ordinates are  (300, 200) As you know x will have two straight lines one on 200 and one on 300. Y will also have two straight  lines, one on 100 and the other on 250.  Now we plot the graph, which will look like this: Notice that the area shaded is shared by all regions of the  constraints. As you can see there is a boxed in area that is shaded which has  five labelled intercepts: A (200,100), B (300, 100) and E (200, 250). The intercepts D and E are a little different since you  can only see one precise intercept (y = 250). To find the other value plug in the x or y value that  you do know and solve for x or y (substitution).  D = y = 250    so    x + y = 500                             x + 250 = 500     x = 500 – 250         x = 250             The vertices D are (250, 250) C = x = 300    so      x + y = 500            300 + y = 500            y = 500 – 300            y = 200 The Vertices for C are (300, 200) Now that we have all of the vertices we can plug them into our profit equation and solve for the  maximum profit.                A) P = 3x +2y                                                                         B) P = 3x +2y            (200,100)                  (300,100) P = 3(200) + 2(100)           P = 3(300) + 2(100) P = 600 + 200           P = 900 +200 P = $800           P = $1100 C) P = 3x + 2y                     D) P = 3x + 2y       (300,200)                                                                               (250,250) P = 3(300) + 2(200)           P = 3(250) +2(250) P = 900 + 400           P = 750 +500 P = $1300           P = $1250             E) P = 3x + 2y P = 3(200) + 2(250) P = 600 + 500 P = $1100 P = 3x + 2y (200,100) $800 (300,100) $1100 (300,200) $1300◄max  (250,250) $1250 (200,250) $1100 The company should make 300 copies of Healthwise and 200 copies of Superteen to make a  maximum profit of $1300. Lets try another question together. A lumber company converts logs into baseball bats. In a week, the company can turn out  400 bats, of which 100 deluxe bats and 150 regular bats are required on a regular basis. The profit  of a deluxe baseball bat is $20 and the profit on  a regular baseball bat is $30. How many of each  type should the lumber company make to have maximum profit? Remember to first make a chart to organize the information.        Type of Bat              Demand             Profit            Deluxe                  100              $20            Regular                  150              $30                                          X = Deluxe                             Y = Regular The profit equation this time will be P = 20x + 30y because there are no production costs. The constraints are: x + y ≤ 400   This means that in total the company cannot make anymore than 400 bats in one  week. X ≥ 100  The x is greater than or equal to 100 because that is the minimum amount of deluxe  bats that the company can make. Y ≥ 150 The y is greater than or equal to 150 because it is the minimum amount of regular bats  that can be made in one week since there is a demand for at least that amount. To plot the graph we have to find the co­ordinates for x + y ≤ 400.   Remember to pick a number for  the x or y value and solve for either x or y. X + y = 400 x = 100 100 + y = 400 y = 400 –100 y = 300 So the co­ordinates are (100,300) x + y =400 x +100 = 400 x = 400 –100 x = 300 So the co­ordinates are (300,100)   And of course we know that there will be a line at x = 100 and y = 150 Now you can plot the graph, which will look like this: Notice that the area shaded is shared by all regions of the constraints. To find the coordinates at A, you know it is on the x­axis at 100 and the y­axis is 0, so the A is  (100, 0). To find the coordinates of B, we know that it is 0 on the y­axis and intercepts with the line for x + y  = 400.  So all we do is sub in 0 for y and solve for x. y = 0 x + y = 400 x + 0 = 400 x = 400 The coordinates at B are (400, 0) To find the coordinates at C, we know that the two lines intersecting are   y = 150, and x + y = 400.  Again, sub in 150 for y and solve for x. y = 150 x + y = 400 x + 150 = 400 x = 400 – 150 x = 250 The coordinates at C are (250, 150) The coordinates of D are pretty straight forward sine all we need to do is look at the graph and see  that the two lines intersecting at D are x = 100 and y = 150.  So the coordinates of D are (100, 150)   The vertices are: A (100, 0), B(400, 0), C(250, 150) and D(100, 150). Remember that we plug  these intercepts into the profit equation and find the maximum profit. A) P = 20x + 30y B) P = 20x + 30y (100, 0)        (400, 0) P = 20(100) + 30(0)     P = 20(400) + 30(0) P = $2000     P = $8000 C) P = 20x + 30y D) P = 20x + 30y (250, 150)        (100, 150) P = 20(250) + 30(150)      P = 20(100) + 30(150) P = $9500      P = $6500 Vertices P = 20x + 30y (100, 0) $2000 (400, 0) $8000 (250, 150) $9500   maximum (100, 150) $6500 To make a maximum profit the lumber company must make 250 deluxe bats and 150 regular bats  to make a maximum profit of $9500. Let’s try one last question together: A window manufacturing company makes two types of windows, regular and heavy duty.  Each regular window takes approximately 3 hours to cut and 1 hour to finish. The heavy­duty  windows take 2 hours to cut and 4 hours to finish. Each regular window makes a net profit of $80  and the heavy­duty window makes a net profit of $200. If 4 cutting and 6 finishing workers are used  12 hours per day how many of each window should be made for the company to make a maximum  profit? Draw the organization table Type of Window Cutting Hours Finishing Hours       Profit        Regular       3 hours        1 hour       $80     Heavy­Duty       2 hours       4 hours       $200 The profit equation will be P = 80x + 200y. The constraints are: 3x +2y ≤ 48    It takes three hours to cut a regular window and two hours to cut a heavy duty  one. The forty­eight comes from the 4 cutting workers multiplied by how long they worked which  was 12 hours at maximum. x+ 4y ≤ 72      It takes one hour to finish a regular and 4 hours to finish a heavy­duty window.  The seventy­two is the 6 workers multiplied by the 12 hours because that is the maximum time that  the finishers can work. To plot the graph we have to draw the two constraints so lets sub in the values for x and y. 3x +2y = 48 3x +2y =48 3(10) + 2y = 48 3x + 2(3)= 48 2y = 48 – 30 3x = 48 ­ 6 2y = 18 3x =  42 y = 9 The co­ordinates are (10,9)                          x = 14 The co­ordinates are (14,3) x + 4y = 72 x + 4y = 72 4 + 4y = 72 x + 4(15) = 72 4y = 72 – 4 x = 72 ­ 60 4y = 68 x = 12 y = 17 The coordinates are (4, 17) The coordinates are (12, 15) Here’s what the graph should look like: Notice that the area shaded is shared by all regions of the constraints. A) (0, 0) B) y = 0 3x + 2y = 48 3x  + 0 = 48 3x = 48 x = 16 The coordinates of B are (16, 0) C) 3x + 2y = 48 x + 4y = 72 For this particular intercept, we use the method of elimination to solve for x and y. (3x + 2y = 48)(­2) ­6x – 4y = ­96     +  x + 4y = 72  ­5x = ­24     x = 4.8 x + 4y = 72 4.8 + 4y = 72 4y = 72 – 4.8 4y = 67.2  y = 16.8 So, the coordinates for C are (4.8, 16.8) D) x = 0 x + 4y = 72 0 + 4y = 72 y = 18 The coordinates at D are (0, 18)  P = 80x + 200y (0,0) $0 (16,0) $1280 (4.8, 16.8) $3744 maximum (0,18) $3600  To make a maximum profit the company would have to sell  4.8 regular windows and 16.8 heavy­ duty windows to make a profit of $3744. Now you can try some of the practice problems on your own.  Practise Questions Let’s Refresh Your Memory…  (  A review of finding max. and mins., and y = mx + b)  1) Determine the maximum and minimum values for each of the following: a) ƒ (x,y) = 3x + 5y               vertices at (4,8), (2,4), (1,1), (5,2)  b) ƒ (x,y) = x + 4y                 vertices at (0,7), (0,0), (6,2), (5,4) 2) The size of shoe a person needs varies linearly with the length of his or her foot.  The  smallest adult shoe size is Size 5, and it fits a 9 inch long foot.  An 11inch foot requires a  Size 11 shoe. a) Write the particular equation, which expresses shoe size in terms of foot length.  b) If your foot is a foot long, what size shoe do you need? c) Bob Lanier of the Detroit Pistons wears a Size 22 shoe.  How long is his foot? d) Plot a graph of adult shoe size versus foot length.  Use the given points and  calculated points.  Be sure that the domain is consistent with the information in this  problem.      3) If you jump out of an airplane at high altitude but do not open your parachute, you will soon  fall at a constant velocity called your “terminal velocity.”  Suppose that at t=0, you jump.  When  t=15 seconds, your wrist altimeter shows that your distance from the ground, d, is 3600 meters.   When t=35 seconds, you have dropped to d=2400 meters.  Assume that you are at your terminal  velocity by the time t=15. a) Explain why d varies linearly with t after you have reached your terminal velocity.         b) Write the particular equation expressing d in terms of t. c) If you neglect to open your parachute, when will you hit the ground? d) According to your mathematical model, how high was the airplane when you  jumped?  e) The plane was actually at 4200 meters when you jumped.  How do you reconcile  this fact with your answer in part d? Now we’re ready! 4) A lumber company can convert logs into either lumber or plywood. In a given week the mill  can turn out 400 units in production, of which 100 units of lumber and 150 units of plywood  are required by regular customers. The profit on a unit of lumber is $20 and the profit on  plywood for one unit is $30. How many units of each type should the mill produce per week  in order for maximum profit?  5) An accountant’s analysis shows that you have $40 000 to invest in stocks and bonds. The  least that you are allowed to invest in stocks is $6 000 and you cannot invest more than  $22 000 in stocks. You may also invest no more than $30 000 in bonds. The interest in the  stocks is 8% tax­free and the interest on the bonds is percent tax­free.  How much should  you invest in each type to maximize your profit? What is the income form the $40 000  invested. 6) A stationary company makes two types of notebooks: a deluxe notebook, with subject  dividers that sell for $1.25 and a regular notebook that sells for $.90. The production cost is  $1.00 for each deluxe notebook and $0.75 for each regular notebook. The company has  the facilities to manufacture between 2000 and 3000 deluxe and 3000 and 6000 regular,  but not more than 7000 altogether. How many notebooks of each type should be  manufactured to maximize the difference between the selling prices and the production  costs?  7)  A coffee company purchases mixed lots of coffee beans and grades them into premium,  regular and unusable beans. The company needs at least 280 tons of premium grade and  200 tons of regular grade coffee beans. The company can purchase ungraded coffee  beans from two suppliers in any amount desired. Samples from the two suppliers contain  the following percentages of premium, regular and unusable beans;          Sample       Premium        Regular  Unusable            A            20%            50%           30%            B            40%            20%          40%   If supplier A charges $125 per ton and B charges $200 per ton how much should the  company purchase from each supplier to fulfill its needs at minimum cost?  8) Gary Smelting Company receives a monthly order for at least 40 tons of iron, 60 tons of  copper and 40 tons of lead. It can fill the order by smelting either alloy A or alloy B. Each  railroad carload of A will produce 1 ton of iron, 3 tons of copper and 4 tons of lead after  smelting. Each railroad carload of B will produce 2 tons of iron, 2 tons of copper and 1 ton  of lead after smelting. If the cost of smelting one carload of the alloy A is $350 and the cost  of smelting one carload of the alloy B is $200, how many carloads of each should be used  to fill the order at the minimum cost to Gary Smelting? What is the minimum cost? 9)  A furniture company makes two types of desks, one plain and one fancy. Each plain desk  takes 3 hours of work to assemble and 1 hour to finish. Each fancy desk takes 2 hours of  work to assemble and 4 hours to finish. The 4 assembly workers and 6 sanding workers  are each used 12 hours per day. Each plain desk has a net profit of $80 and each fancy  desk has a net profit of $200. If the company can sell all the desks it makes, how many of  each kind should be produced each day in order to make maximum profit. 10)  Almosttexas makes two types of calculators. Deluxe sells for $12 and Top of the Line sells  for $10. It costs Almosttexas $9 to produce a deluxe and $8 to produce a Top of the Line  calculator. In one week, Almottexas can produce 200 to 300 deluxe calculators and 100 to  250 Top of the Line calculators, but no more than 500 in total. How many of each type  should the company make to have the maximum profit?   11) A carpenter makes tables and chairs. Each table can be sold for a profit of $30 and each  chair for a profit of $10. The carpenter can afford to spend up to 40 hours working and it  takes six hours to make a table and three hours to make a chair. Customer demand  requires her to make at least three times as many chairs as tables. Tables take up four  times as much storage space as chairs and there is no room for more than 4 tables per  week. How many tables and chairs will she have to make, to make maximum profit? 12) A nutrition centre sells health food to mountain climbing teams. The Trailblazer mix  package contains one pound of corn cereal mixed with four pounds of wheat cereal and  sells for $9.75. The Frontier mix package contains two pounds of corn cereal with three  pounds of wheat cereal and sells for $9.50. The centre has 60 pounds of corn cereal and  120 pounds of wheat cereal available. How many packages of each mix should the centre  sell to maximize its income? 13) Angie and Nicole run very successful lemonade stand for most of the summer. They made  both lemonade and fruit punch. Although the ingredients for the fruit punch cost more, they  sold both drinks for the same price. Their profit for a cup of lemonade was $0.20, but only  $0.15 a cup for fruit punch. Every morning they made drinks for the day. One morning they  discovered that they were low on supplies. The lemonade recipe requires ½ a cup of sugar  per quart, whereas the fruit punch only required ¼ a cup per quart. They had about 4.5  cups of sugar on hand and in addition they only had enough oranges to make 8 quarts of  fruit punch. The friends want to make as much profit as they can, how much profit will they  make if they only made lemonade? Only fruit punch? What would the profit be if they made  both drinks? 14) A manufacturer of CB radios makes a profit of $20 on a deluxe model and $15 on a  standard model.  The company wishes to produce at least 70 deluxe models and at least  100 standard models per day.  To maintain high quality, the daily production should not  exceed 200 radios.  How many of each type should be produced daily in order to maximize  the profit? 15) A manufacturer of tennis rackets makes a profit of $15 on each oversized racket and $8 on  each standard racket.  To meet dealer demand, daily production of standard rackets  should be between 30 and 80, and production of oversized rackets should be between 10  and 30.  To maintain high quality, the total number of rackets produced should no exceed  80 per day.  How many of each type of racket should be manufactured daily to maximize  the profit? 16) Put your knowledge to the test!  Create a scenario in
More Less

Related notes for MKTG 2030

Log In


Don't have an account?

Join OneClass

Access over 10 million pages of study
documents for 1.3 million courses.

Sign up

Join to view


By registering, I agree to the Terms and Privacy Policies
Already have an account?
Just a few more details

So we can recommend you notes for your school.

Reset Password

Please enter below the email address you registered with and we will send you a link to reset your password.

Add your courses

Get notes from the top students in your class.